AMC 8 · 2024 · #7

학년 4 geometry-2d

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Rectangular Tiling — Minimize Filler Count

area-rectanglesparitymodular-arithmetic modular-arithmeticparity-coloring ↑ 선수 지식: area-rectanglesdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

3 × 7 직사각형(총 21칸)을 2× 2 타일, 1× 4 타일, 1× 1 타일 세 종류만으로 겹치지 않게 빈틈없이 덮을 때, 사용해야 하는 1× 1 타일의 최소 개수를 보기 (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5 중에서 고른다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

직사각형과 타일이 모두 격자 위 도형이므로 도구 #1(그림 그리기)로 3×7 모눈을 직접 그려 놓고 타일을 채우는 것이 가장 자연스럽다. 문제를 두 개의 작은 질문으로 쪼갠다(도구 #7): (가) '4칸짜리 큰 타일'과 '1칸짜리 작은 타일'의 칸 수를 더해서 21이 되려면 1칸 타일은 몇 개가 가능한가? (나) 그 후보 개수로 실제로 덮을 수 있는가? (가)는 21을 4로 나눈 나머지를 보는 4학년 수준의 나눗셈 추론으로 끝나고, (나)는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 그림 위에 큰 타일을 직접 놓아 보면 된다. 후보가 1, 5뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로도 두 경우만 검사하면 끝난다. 대수(도구 #13)는 필요 없다.

1STEP 1

4학년 넓이로 쪼개기: 판은 3× 7 = 21칸, 큰 타일은 4의 배수만 덮으니 1× 1 개수 c는 21에서 4의 배수를 뺀 나머지다.

3 × 7 = 21 = 4 × (큰 타일 수) + c

2STEP 2

나누기: 21 ÷ 4 = 5 나머지 1이므로 c는 1, 5, 9, …만 가능하다. 보기 중엔 1과 5뿐이라 답은 1 또는 5다.

21 ÷ 4 = 5 나머지 1 → c ∈ {1, 5, 9, 13, …}

3STEP 3

모눈에서 c=1 시험: 큰 타일 5개로 20칸을 덮어야 하지만, 세로 3칸 판은 늘 2× 1 조각이 남아 한 칸만 못 남긴다.

c = 1 → 4 × 5 + 1 = 21, 큰 타일 5개로 20칸 덮기 필요

4STEP 4

열을 R,B,R,…로 칠하면 빨강 12칸·파랑 9칸. 큰 타일은 늘 빨강 2·파랑 2를 덮어 차이 3을 못 줄이니, c=1로는 못 메운다.

빨강 칸 = 12, 파랑 칸 = 9, 차이 = 3 ; 큰 타일은 차이를 바꾸지 못함 → c ≥ 3 + (같이 놓인 R·B 쌍)

5STEP 5

이제 c=5 시험: 2× 2 셋으로 위 2× 6을, 1× 4 하나로 왼쪽 아래를 덮고, 1× 1 다섯으로 7열과 아래 두 칸을 채우면 완성된다.

A & A & C & C & D & D & s ; A & A & C & C & D & D & s ; B & B & B & B & s & s & s → c = 5

6STEP 6

정리: c는 1, 5, 9, …인데 c=1은 색칠 차이로 불가능, c=5는 위 배치로 가능하니 최소는 5, 정답은 (E)다.

c_min = 5 → (E) 5

정답

c=5가 답이라는 것은 두 가지 사실이 모두 맞아야 한다: (1) 21 - 5 = 16 = 4 × 4이므로 큰 타일 4개가 16칸을 빈틈없이 덮을 수 있어야 하고, (2) 그것보다 작은 후보인 c=1은 빨강·파랑 칸 수 차이 3 때문에 결코 만들 수 없다. (1)은 2× 2 세 개로 윗쪽 2 × 6 영역을, 1× 4 한 개로 아래쪽 1 × 4 영역을 덮어 직접 보였고, (2)는 열을 R/B로 번갈아 색칠해 큰 타일이 R과 B를 항상 같은 수로 덮는다는 그림 사실로 보였다. 두 사실이 모두 일관되므로 답 (E) 5는 옳다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 직사각형 넓이와 배수·나머지 개념만 알면 풀 수 있어요!

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