경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2000 · #15

학년 5 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

perimetersimilar-figuresfraction-multiplication identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: perimetermulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

정삼각형 ABC, ADE, EFG 가 서로 맞물려 있습니다. D 는 AC 의 중점, G 는 AE 의 중점입니다. AB = 4 일 때, 일곱 꼭짓점 도형 ABCDEFG 의 둘레 (선분 AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA 의 합)를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림에 정삼각형 세 개가 중점으로 맞물려 있는 모습이 그대로 보입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 각 선분에 길이를 적어 두면 둘레는 그림에서 바로 읽을 수 있어요 — 대수가 필요 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 삼각형별 단계로 나눠 줍니다. △ ABC 의 한 변이 △ ADE 의 크기를 정하고 (AD 가 AC 의 절반이므로), △ ADE 의 한 변이 다시 △ EFG 의 크기를 정합니다 (EG 가 AE 의 절반이므로). 모든 선분에 라벨이 붙으면 둘레는 3학년 덧셈 한 줄이에요.

1STEP 1

가장 큰 삼각형 표시하기

△ ABC 는 정삼각형이라 AB = 4이면 세 변이 모두 같아 BC = 4, AC = 4.

AB = BC = AC = 4

2STEP 2

중간 삼각형 표시하기

D 가 AC 를 반으로 나눠 AD = 2, 정삼각형 ADE 로 DE = AE = 2, 남는 CD = 2.

AD = DE = AE = 2, CD = AC - AD = 4 - 2 = 2

3STEP 3

가장 작은 삼각형 표시하기

G 가 AE 를 반으로 나눠 GE = 1, 정삼각형 EFG 로 EF = FG = 1, 남는 GA = 1.

EF = FG = GE = 1, GA = AE - GE = 2 - 1 = 1

4STEP 4

일곱 변 더하기

일곱 선분을 더합니다 (AE 는 내부): 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15, 답 (C).

AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15 → (C)

둘레는 바깥쪽으로 따라간 선분들의 합 — 라벨을 차례로 읽으며 더하기만 하면 됩니다.

도형 ABCDEFG의 둘레는 바깥 경계를 이루는 일곱 개의 선분 AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA의 길이를 모두 더한 것이며, 안쪽 선분 AE는 세지 않는다.

▸ 왜?

둘레는 경계를 따라 한 바퀴 도는 전체 거리를 뜻하고, 이 경계는 바로 그 일곱 선분이 빈틈이나 겹침 없이 끝과 끝으로 이어져 만들어지므로 그 길이는 선분들의 합이다; AE는 안쪽을 지나가므로 한 바퀴 도는 경로에 포함되지 않는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

일곱 선분의 길이는 줄어드는 연쇄로 구해진다: 각 삼각형의 한 변은 그 앞 삼각형 변의 절반이어서 4와 4, 그다음 2와 2, 그다음 1, 1, 1이 된다.

▸ 왜?

삼각형 ABC는 정삼각형이므로 세 변이 한 길이를 공유하고, 그 길이는 주어진 AB = 4이다; 따라서 BC와 AC도 4이다.

같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.

▸ 왜?

점 D는 AC의 중점이므로 두 조각 AD와 DC는 서로 같고 빈틈이나 겹침 없이 합쳐 AC = 4를 이룬다; 각각은 2이므로 CD = 2이고, 정삼각형 ADE의 변 DE도 이에 맞춰 2이다.

▸ 왜?

AD와 DC는 빠지거나 겹치는 것 없이 함께 전체 선분 AC = 4를 다시 이루고, 서로 같은 절반이므로 각각 2일 수밖에 없으며, 이로써 CD = 2가 정해진다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

삼각형 ADE는 정삼각형이므로 DE는 AD와 같고 AD는 2이다; 따라서 DE도 2이다.

같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.

▸ 왜?

점 G는 AE의 중점이므로 두 절반은 서로 같고 합쳐 AE = 2를 이룬다; 각각은 1이므로 GA = 1이고, 정삼각형 EFG의 변들도 이에 맞춰 1이다.

▸ 왜?

AG와 GE는 빠지거나 겹치는 것 없이 함께 전체 선분 AE = 2를 다시 이루고, 서로 같은 절반이므로 각각 1일 수밖에 없으며, 이로써 GA = 1이 정해진다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

삼각형 EFG는 정삼각형이므로 EF와 FG는 GE와 같고 GE는 1이다; 따라서 EF와 FG도 1이다.

같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.

3.MD.D.8Draw A Diagram

정답

크기 점검을 해 봅시다. △ ABC 만의 둘레는 4 + 4 + 4 = 12. 우리 도형의 둘레는 △ ABC 의 한 변 AC 를 우회 경로 C → D → E → F → G → A 로 바꿉니다. 이 우회 경로의 길이는 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7. 따라서 전체 둘레는 12 - 4 + 7 = 15 — (C)와 일치합니다. 함정 선택지도 짚어 보세요. (A) 12는 △ ABC 만의 둘레로, 우회 경로를 잊은 경우입니다. (E) 21은 세 정삼각형의 모든 변을 다 더한 값 (12 + 6 + 3)으로, 내부 선분 AE 와 중점이 만든 두 절반을 중복해서 센 경우입니다.

💡핵심 정리

삼각형 하나하나가 앞 삼각형의 절반 크기 (4 → 2 → 1)입니다. 둘레 위의 모든 선분에 길이를 적은 뒤 더하면 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15, 답은 (C)입니다.

가장 큰 삼각형 표시하기
중간 삼각형 표시하기
가장 작은 삼각형 표시하기
일곱 변 더하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

가장 큰 삼각형 표시하기

중간 삼각형 표시하기

가장 작은 삼각형 표시하기

일곱 변 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기