경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2000 · #21

학년 7 probabilitycounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumerationfraction-arithmetic caseworksystematic-enumerationtree-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

케이코는 공정한 동전 1 개를 던지고, 에프라임은 공정한 동전 2 개를 던집니다. 에프라임이 나온 앞면 개수가 케이코의 앞면 개수와 같을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{3}{8}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

세 동전을 합쳐도 같은 확률의 결과가 8 가지뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 전부 적어 일치 경우를 세는 게 가장 직관적입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 한 단계 더 깔끔합니다 — 케이코의 결과(앞면 0 개 vs 1 개)로 경우를 나누고, 각 경우에 에프라임의 4 결과 중 몇 개가 일치하는지 세면, 큰 나열 하나 대신 작은 나열 둘로 끝납니다.

1STEP 1

전체 경우의 수 세기

독립인 공정한 동전 3 개이므로 H/T 수열은 2 × 2 × 2 = 8 가지, 각각 확률 $\frac{1}{8}$ .

|표본공간| = 2³ = 8

2STEP 2

두 경우로 나누기

케이코의 결과로 나눕니다 — 케이코 0 개면 에프라임도 0 개, 1 개면 1 개. 서로 겹치지 않는 두 경우.

P(일치) = P(K = 0, E = 0) + P(K = 1, E = 1)

3STEP 3

앞면 0개인 경우 세기

경우 1 — 둘 다 0 개: 케이코 1 가지(T), 에프라임 1 가지(TT), 곱하면 1 · 1 = 1 — 수열 TTT.

경우 1 수 = 1 · 1 = 1

4STEP 4

앞면 1개인 경우 세기

경우 2 — 둘 다 1 개: 케이코 1 가지(H), 에프라임은 두 자리 중 하나(HT, TH), 곱하면 1 · 2 = 2 — HHT, HTH.

경우 2 수 = 1 · 2 = 2

5STEP 5

더한 뒤 8로 나누기

두 경우 수를 더해 표본공간으로 나눕니다 — 일치는 1 + 2 = 3 가지, 전체는 같은 확률 8 가지.

P(일치) = (1 + 2)/8 = 3/8 → (B)

확률 = 유리한 경우의 수 ÷ 전체 같은 확률 경우의 수 — 7학년 균등 모형 공식.

에프라임의 앞면 수가 케이코와 같을 확률은, 똑같이 나올 법한 3번 던지기 8가지 수열 중 3가지에 해당한다.

▸ 왜?

일치는 정확히 3가지 수열에서 일어난다. 케이코의 결과로 경우를 나누어 두 경우를 더하면, 둘 다 앞면 0개일 때 1가지, 둘 다 앞면 1개일 때 2가지가 된다.

▸ 왜?

케이코의 두 가능성인 앞면 0개와 앞면 1개는 모든 일치를 빠짐없이 덮고 동시에 일어날 수 없으므로, 두 경우의 일치 수열은 겹침 없이 그대로 더해진다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

각 경우 안에서 케이코의 방법 하나하나가 에프라임의 방법 하나하나와 짝을 이루므로, 개수는 케이코의 방법 수 곱하기 에프라임의 방법 수이다: 1 · 1 = 1, 1 · 2 = 2.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

세 번의 던지기(케이코 1번, 에프라임 2번)는 2 · 2 · 2 = 8가지 서로 다른 수열을 만든다. 던지기를 하나 더할 때마다 수열의 수가 두 배가 되기 때문이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

각 동전은 공정하고 던지기끼리 서로 영향을 주지 않으므로 8가지 세 번 던지기 수열은 모두 똑같이 나올 법하다. 결과가 똑같이 나올 법할 때 사건의 확률은 유리한 수열의 수를 전체 수로 나눈 것이므로, 일치는 8가지 중 3가지이어서 그 확률은 3/8이다.

동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.

7.SP.C.7Make A Systematic List

정답

3/8

8 개 수열을 모두 적어 확인합니다(케이코 먼저, 에프라임 두 개): TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH. 앞면 개수를 비교하면 일치하는 수열은 TTT (0 = 0), HTH (1 = 1), HHT (1 = 1) — 정확히 8 중 3 가지이므로 P =

\frac{3}{8}

. 크기 감각으로도 맞습니다: 일치가 가장 가능성 있는 단일 사건이지만 절반엔 못 미치므로

\frac{1}{4}

와

\frac{1}{2}

사이여야 하고,

\frac{3}{8}

= 0.375가 그 범위에 들어갑니다.

💡핵심 정리

동전 3 개의 결과는 8 가지뿐 — 케이코의 결과로 경우를 나누고 에프라임의 일치 수열을 세면 1 + 2 = 3, 즉 $\frac{3}{8}$ .

전체 경우의 수 세기
두 경우로 나누기
앞면 0개인 경우 세기
앞면 1개인 경우 세기
더한 뒤 8로 나누기

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전체 경우의 수 세기

두 경우로 나누기

앞면 0개인 경우 세기

앞면 1개인 경우 세기

더한 뒤 8로 나누기

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