AMC 10 · 2004 · #23

학년 7 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

probability-basicspatial-visualization caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정육면체의 각 면을 확률 1/2씩으로 빨강 또는 파랑으로 칠하며, 각 면의 색은 독립적으로 정해진다. 이 정육면체를 수평면 위에 놓아서 네 옆면이 모두 같은 색이 되도록 할 수 있을 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{5}{16}$

(C)

$\frac{3}{8}$

(D)

$\frac{7}{16}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육면체의 여섯 면을 각각 빨강 또는 파랑으로 칠하는데, 두 색이 나올 확률은 같고 각 면은 독립적으로 정해집니다. 이 정육면체를 탁자 위에 놓아서 네 옆면(수직인 면)이 모두 같은 색이 되도록 놓을 수 있을 확률을 구하세요.

주어진 것: 정육면체에는 면이 $6$ 개 있습니다.; 각 면은 확률 $\frac{1}{2}$ 씩으로 빨강 또는 파랑으로 칠해지며, 다른 면과 독립적입니다.; 놓기 전에 정육면체를 마음대로 돌릴 수 있습니다. 한 가지 놓는 방법만 성공하면 됩니다.; 선택지: (A) $\frac{1}{4}$, (B) $\frac{5}{16}$, (C) $\frac{3}{8}$, (D) $\frac{7}{16}$, (E) $\frac{1}{2}$.

구하는 것: 어떤 방법으로든 놓아서 네 옆면을 모두 같은 색으로 만들 수 있을 확률.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #7 작은 문제로 쪼개기

정육면체를 칠하는 방법은 $2^6=64$ 가지뿐이므로 성공하는 경우를 정확히 셀 수 있습니다. 도구 #17(공간 상상하기)로 '네 옆면'이라는 말을 그림으로 바꿉니다: 정육면체를 두르는 네 면의 고리이고, 남은 마주 보는 한 쌍이 윗면과 아랫면입니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 성공하는 색칠을 두 색이 나뉘는 방식($6$ 대 $0$, $5$ 대 $1$, $4$ 대 $2$)에 따라 몇 개의 깔끔한 경우로 정리합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 경우를 따로 세어 합치되, 경우들이 겹치지 않아 어떤 것도 두 번 세지 않도록 주의합니다.

실행 — 정답: B

#17 공간 상상하기 7.SP.C.8 단계 1

모든 색칠 세고 목표 그리기

$6$ 개의 면을 각각 $2$ 가지 색 중 하나로 독립적으로 칠하므로, 확률이 같은 색칠이 $2^6=64$ 가지 있습니다.
한 번 놓았을 때의 네 옆면은 정육면체를 두르는 고리를 이루고, 윗면과 아랫면은 그 고리에서 빠진 하나의 마주 보는 쌍입니다.
정육면체에는 고리가 정확히 $3$ 개 있습니다(마주 보는 $3$ 쌍 중 하나를 윗면·아랫면으로 고름).
따라서 정육면체가 '성공'하는 것은 이 $3$ 개의 고리 중 적어도 하나가 한 색으로 칠해진 경우와 같습니다.
그런 한 색 고리가 있는 색칠을 셉니다.

$$\text{전체 색칠}=2^6=64$$

💡 네 옆면은 정육면체를 두르는 고리일 뿐이고, 확인할 고리는 세 개뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

경우 A: 여섯 면이 모두 한 색

모든 면이 같은 색이면 당연히 모든 고리가 그 색이므로 정육면체는 성공합니다.
이런 색칠은 정확히 $2$ 가지입니다: 모두 빨강, 또는 모두 파랑.

$$\text{모두 빨강 또는 모두 파랑}\;\Rightarrow\;2\text{ 가지}$$

💡 한 색으로만 칠한 정육면체는 당연히 일치하는 고리를 갖습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

경우 B: 다섯 면 한 색, 한 면 다른 색

다섯 면이 한 색을 공유하고 한 면만 색이 다른 경우를 생각합시다.
그 다른 면을 윗면에 놓으면, 네 옆면과 아랫면이 모두 다수 색이 되어 정육면체가 성공합니다.
어느 면이 다른 색인지($6$ 가지)와 나머지 다섯 면이 공유하는 색($2$ 가지)을 골라 세면 $6\times 2=12$ 가지입니다.

$$6\text{ (다른 면)}\times 2\text{ (다수 색)}=12$$

💡 혼자 다른 면을 윗면에 세우면 고리와 아랫면이 모두 같은 색이 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

경우 C: 네 면 한 색, 두 면 다른 색

이제 색을 넷 대 둘로 나눕니다.
고리가 한 색이 되려면 일치하는 네 면 자체가 고리를 이루어야 하는데, 이는 소수인 두 면이 마주 보는 쌍일 때(그래서 그 둘이 윗면·아랫면이 될 때) 정확히 일어납니다.
이를 세면: 마주 보는 $3$ 쌍 중 어느 것이 소수 쌍인지($3$ 가지)와 그 쌍의 색($2$ 가지)을 골라 $3\times 2=6$ 가지입니다.
만약 소수인 두 면이 서로 이웃하면 어떤 고리도 한 색이 아니므로 성공하지 못합니다.
그리고 더 고르게 나뉜 경우(셋 대 셋)는 고리에 네 면이 필요하므로 결코 고리를 채울 수 없습니다.
그래서 경우 C는 $6$ 가지를 기여합니다.

$$3\text{ (마주 보는 쌍)}\times 2\text{ (소수 색)}=6$$

💡 일치하는 네 면이 고리를 이루는 유일한 경우는 나머지 두 면이 윗면·아랫면으로 마주 볼 때입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.1 단계 5

경우를 더하고 나누기

세 경우는 다수 색인 면의 개수($6$, $5$, $4$)로 색칠을 나누므로 서로 겹치지 않습니다.
더하면 $64$ 가지 중 $2+12+6=20$ 가지가 성공하는 색칠입니다.
확률은 $\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$ 이므로 답은 (B)입니다.

$$2+12+6=20,\quad \frac{20}{64}=\frac{5}{16}\ \textbf{(B)}$$

💡 겹치지 않는 경우들을 더한 뒤, 분자와 분모를 $4$ 로 나누어 분수를 약분합니다.

[1] #17 7.SP.C.8 $6$ 개의 면을 각각 $2$ 가지 색 중 하나로 독립적으로 칠하므로, 확률이 같은 색칠이 $2^6=64$ 가지 있습니다. 한 번 놓았을 때의

[2] #2 7.SP.C.8 모든 면이 같은 색이면 당연히 모든 고리가 그 색이므로 정육면체는 성공합니다. 이런 색칠은 정확히 $2$ 가지입니다: 모두 빨강, 또는 모두 파

[3] #2 7.SP.C.8 다섯 면이 한 색을 공유하고 한 면만 색이 다른 경우를 생각합시다. 그 다른 면을 윗면에 놓으면, 네 옆면과 아랫면이 모두 다수 색이 되어 정육

[4] #2 7.SP.C.8 이제 색을 넷 대 둘로 나눕니다. 고리가 한 색이 되려면 일치하는 네 면 자체가 고리를 이루어야 하는데, 이는 소수인 두 면이 마주 보는 쌍일

[5] #7 4.NF.A.1 세 경우는 다수 색인 면의 개수($6$, $5$, $4$)로 색칠을 나누므로 서로 겹치지 않습니다. 더하면 $64$ 가지 중 $2+12+6=20

검토

합리성 확인: $20$ 이라는 개수는 양 끝 사이에 알맞게 있습니다: 모두 같은 색과 다섯 대 하나의 경우만 더한 $2+12=14$ 보다는 많고, $64$ 보다는 훨씬 적으므로 $\frac{5}{16}\approx 0.31$ 근처의 확률이 자연스럽습니다. 이는 정확히 선택지 (B)에 해당하며, (A) $\frac{1}{4}$ 와 (C) $\frac{3}{8}$ 사이입니다. 다수 색인 면의 개수($6$, $5$, $4$)로 나누면 어떤 색칠도 두 번 세지 않는데, 이런 문제에서 가장 큰 위험이 바로 그것입니다.

대안 접근: 경우 나누기 대신 $3$ 개의 고리에 포함-배제 원리를 씁니다. 고정된 한 고리가 한 색이 되는 것은 고리 색 $2$ 가지와 윗면·아랫면의 자유로운 선택 $2^2=4$ 가지이므로 $2\times 4=8$ 가지이고, $3$ 개의 고리에 대해 $3\times 8=24$ 입니다. 서로 다른 두 고리는 한 면을 공유하므로, 둘 다 한 색이면 여섯 면이 모두 같아야 해서 각 고리 쌍마다 $2$ 가지, 즉 빼야 할 것은 $3\times 2=6$ 입니다. 세 고리가 모두 한 색인 것도 다시 여섯 면이 모두 같은 경우이므로 더해 줄 것은 $2$ 가지입니다. 포함-배제로 $24-6+2=20$ 이 되어 $\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$ 과 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 모의실험을 이용해 복합 사건의 확률을 구한다 (확률이 같은 $64$ 가지 색칠을 세우고, 성공하는 경우를 정리된 경우로 세어 확률을 구하는 데 사용.)
4.NF.A.1 어떤 분수가 다른 분수와 동치임을 설명한다 (분자와 분모를 $4$ 로 나누어 확률 $\frac{20}{64}$ 을 $\frac{5}{16}$ 으로 약분하는 데 사용.)

⭐ 네 옆면을 정육면체를 두르는 고리로 그리고, 한 색 고리가 있는 색칠을 경우로 세세요(여섯 면 모두 일치, 다섯 대 하나, 또는 넷 대 둘에서 다른 두 면을 윗면·아랫면에): $64$ 가지 중 $2+12+6=20$ 가지, 곧 $\frac{5}{16}$ 입니다.