AMC 8 · 2000 · #23

학년 6 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

mean-median-mode-rangeset-partitionfraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangefraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

수 7 개가 한 줄로 놓여 있습니다. 앞의 4 개의 평균은 5, 뒤의 4 개의 평균은 8, 전체 7 개의 평균은 6

\frac{4}{7}

입니다. 앞 묶음과 뒤 묶음에는 정확히 한 개의 수가 겹쳐 있습니다 (양쪽에 모두 들어 있는 수). 그 겹치는 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\frac{3}{7}$

(B)

(C)

$6\frac{4}{7}$

(D)

(E)

$7\frac{3}{7}$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

수 7 개를 하나하나 알 필요는 없습니다 — 합만 알면 됩니다. 도구 #11 (변하지 않는 것 찾기) 의 신호죠. 전체 7 개의 합은 어떻게 묶어 세어도 같은 값입니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 바꾸기) 가 짝을 이룹니다 — 미지수 7 개 대신 세 개의 합 (앞 4 의 합, 뒤 4 의 합, 전체 7 의 합) 으로 문제를 바꾸세요. 앞 4 합과 뒤 4 합을 더하면 겹치는 수만 두 번 세어지므로, (앞 4 합) + (뒤 4 합) - (전체 7 합) = 겹치는 수. 변수도, 방정식도 필요 없습니다.

1STEP 1

각 평균을 합으로 바꿉니다: 합 = 평균 × 개수 를 앞 4, 뒤 4, 전체 7 에 각각 적용.

앞 4 합 = 4 × 5 = 20, 뒤 4 합 = 4 × 8 = 32, 전체 7 합 = 7 × 6

\frac{4}{7}

= 7 · 6 + 4 = 46

2STEP 2

두 묶음의 합을 더하면 52 — 겹치는 수는 앞뒤 양쪽에 들어 있어 두 번 세어집니다.

앞 4 합 + 뒤 4 합 = 20 + 32 = 52 = (전체 7 합) + (겹치는 수)

3STEP 3

두 합의 총합에서 전체 합을 빼면 52 - 46 = 6, 두 번 세어진 겹치는 수 — 답 (B).

겹치는 수 = 52 - 46 = 6 → (B)

정답

겹치는 수 6 이 양쪽 묶음 모두에 어울리는지 봅시다. 앞 4 의 평균은 5 라서 그 안의 수들은 5 근처, 뒤 4 의 평균은 8 이라서 그 안의 수들은 8 근처. 양쪽에 공통으로 들어가는 수는 5 와 8 사이 어딘가가 자연스럽고, 6 이 정확히 그 범위 안에 있습니다. 검산: 7 × 6

\frac{4}{7}

= 46, 20 + 32 - 6 = 46 으로 정확히 일치. 선택지 (A) 5

\frac{3}{7}

와 (E) 7

\frac{3}{7}

는 위 계산에서 산술이 맞지 않으므로 자연스럽게 제외됩니다.

💡핵심 정리

평균을 합으로 바꾸면 20, 32, 46. 20 과 32 를 더할 때 겹치는 수만 두 번 세어지므로 52 - 46 = 6 이 바로 그 겹치는 수입니다. 답은 (B).

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