AMC 8 · 2001 · #24

학년 6 countinglogic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

complementary-countingset-partitionsystematic-enumerationreflection-symmetry complementary-countingcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: set-partitionsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

위·아래로 대칭인 도형이 있어요. 각 절반에는 빨간 삼각형 3 개, 파란 삼각형 5 개, 흰 삼각형 8 개씩, 모두 16 개의 삼각형이 있습니다. 중심선을 따라 위쪽 절반을 아래쪽 절반 위로 접으면 위쪽의 삼각형이 아래쪽 삼각형과 정확히 하나씩 짝을 이뤄 총 16 쌍이 생깁니다. 이때 빨강-빨강 쌍이 2 쌍, 파랑-파랑 쌍이 3 쌍, 빨강-흰색 쌍이 2 쌍 있다고 합니다. 흰색-흰색 쌍은 몇 쌍일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

쌍의 종류는 R-R, B-B, W-W, R-B, R-W, B-W 의 여섯 가지뿐입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 색깔별 총량(빨강 6, 파랑 10, 흰색 16)을 적고 이미 알려진 쌍 수를 채워 넣어요. 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합 세기)이 마무리 도구예요. 흰색-흰색 쌍을 직접 세지 않고, 빨강과 파랑 삼각형을 먼저 모두 처리해서 흰색이 다른 색의 짝으로 얼마나 빠져나갔는지를 확인하면, 남은 흰색은 서로끼리 짝지을 수밖에 없습니다. 식으로 정리하면 표 하나로 끝나는 문제라 도구 #13(대수)은 굳이 꺼내지 않습니다.

1STEP 1

각 절반을 두 배 하면 두 절반을 합쳐 빨강 6, 파랑 10, 흰색 16 개예요.

빨강 = 6, 파랑 = 10, 흰색 = 16

2STEP 2

R-R 쌍이 빨강 4 개, R-W 쌍이 2 개를 더 써서 빨강 6 개가 모두 소진되니 R-B 쌍은 없어요.

2 · 2_R-R + 2 · 1_R-W = 6 = 빨강 총량

3STEP 3

R-W 쌍 2 개가 흰색 2 개를 써서 아직 짝지을 흰색은 14 개 남아요.

16 - 2 = 14 (남은 흰색)

4STEP 4

B-B 쌍 3 개가 파랑 6 개를 쓰고, 남은 파랑 4 개는 흰색과만 짝지어 B-W 쌍 4 개가 생겨요.

남은 파랑 = 10 - 6 = 4 → B-W 쌍 4 개

5STEP 5

B-W 쌍 4 개가 흰색 4 개를 더 가져가 10 개가 남고, 서로 짝지어 W-W 쌍 5 개가 됩니다.

\frac{14 - 4}{2}

\frac{10}{2}

= 5 → (B)

정답

쌍 개수 확인: R-R + B-B + R-W + B-W + W-W = 2 + 3 + 2 + 4 + 5 = 16 으로 접어서 만들어지는 16 쌍과 일치합니다. 색깔별 총량 확인: 빨강 = 2(2) + 2(1) = 6, 파랑 = 2(3) + 4(1) = 10, 흰색 = 2(5) + 1(2) + 1(4) = 16. 세 합 모두 재고와 정확히 맞으므로 W-W 쌍 5 개, 즉 답 (B) 가 일관됩니다.

💡핵심 정리

눈에 띄는 색부터 정산해요. 빨강 6 개는 R-R 쌍 2 개와 R-W 쌍 2 개로 전부 소진. 파랑 10 개 중 B-B 쌍 3 개가 6 개를 쓰니 남는 4 개 파랑은 흰색과 짝지어요. 흰색 사용 누계 2 + 4 = 6, 남은 흰색 16 - 6 = 10 개 — 흰색끼리 5 쌍, 답은 (B) 입니다.

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