AMC 8 · 2000 · #6

학년 3 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

area-rectanglesspatial-visualizationline-symmetry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

5 × 5 정사각형 ABCD 안에 변의 길이가 1, 3, 1 인 작은 정사각형 세 개가 들어 있습니다. 3 × 3 정사각형은 한 모서리에 붙어 있고, 두 개의 단위 정사각형은 이웃한 모서리에 붙어 있습니다. 3 × 3 정사각형을 감싸는 L자 모양 음영 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

12.5

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

주어진 길이 1, 3, 1 만으로 그림의 모든 좌표가 결정되므로, 도구 #1(그림 그리기) 로 L자 모양의 모든 변 길이를 그림에서 곧바로 읽어낼 수 있습니다 — 대수가 필요 없어요. 좌표가 정해진 L 을 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 한 번의 가로 또는 세로 절단으로 두 직사각형으로 나누고, 각 직사각형의 넓이를 구한 뒤 더하면 끝납니다. "큰 정사각형에서 세 작은 정사각형을 뺀 뒤 2 로 나누기" 방식도 맞지만, 그림 자체에서 한 L 이 두 직사각형으로 보이는 만큼 그 추가 단계는 불필요합니다.

1STEP 1

그림을 격자에 올리면 바깥 정사각형 한 변은 1 + 3 + 1 = 5, 음영 L 은 3 × 3 정사각형을 왼쪽·아래로 감쌉니다.

바깥 한 변 = 1 + 3 + 1 = 5

2STEP 2

y = 1 에서 가로로 한 번 자르면 L 은 두 직사각형 — 왼쪽의 1 × 3 세로 띠와 아래쪽의 4 × 1 가로 띠로 나뉩니다.

위 조각: 1 × 3, 아래 조각: 4 × 1

3STEP 3

각 넓이는 가로 × 세로 — 세로 띠는 1 × 3 = 3, 가로 띠는 4 × 1 = 4, 그래서 L 의 넓이는 3 + 4 = 7.

L 의 넓이 = 1 × 3 + 4 × 1 = 3 + 4 = 7 → (A)

정답

"큰 사각형에서 안쪽을 빼기" 관점으로 재확인합시다. 왼쪽 아래에 있는 4 × 4 부분 사각형 (모서리 (0,0) 부터 (4,4)) 은 L 영역과 가운데 3 × 3 정사각형을 빈틈없이 정확히 담고 있습니다. 따라서 L = 4 × 4 - 3 × 3 = 16 - 9 = 7. 같은 답입니다. 5 × 5 전체 격자를 그리고 음영 칸 수를 세어 봐도 아래쪽 띠에 4 칸, 왼쪽 띠에 3 칸으로 7 칸 — (A) 와 일치합니다. 선택지 (D) 14 와 (E) 15 는, L 이 단 하나의 3 × 3 정사각형만 감싼다는 사실을 놓치고 25 - 9 - 1 - 1 = 14 처럼 세 작은 사각형을 모두 빼버릴 때 나오는 함정 — 그것은 한 L 이 아니라 두 L 의 넓이입니다.

💡핵심 정리

L 자를 한 번의 직선 절단으로 두 직사각형으로 자르세요. 한 조각은 1 × 3 = 3, 다른 조각은 4 × 1 = 4, 그래서 L 의 넓이는 3 + 4 = 7 — 답은 (A) 입니다.

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