AMC 8 · 2005 · #13

학년 3 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

area-rectanglesarea-differenceperimeter area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

육각형 ABCDEF 는 모든 꼭짓점이 직각인 L자 모양입니다. 차례대로 AB = 8 (윗변), BC = 9 (오른쪽 변), FA = 5 (왼쪽 위 변)이고, 다각형의 넓이는 52 입니다. DE + EF 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) 이 핵심입니다. L자 모양을 그리고 변 길이를 적은 뒤, AF 를 아래로, DC 를 위로 연장해 새 꼭짓점 O 에서 만나게 합니다. 그러면 L 모양은 큰 직사각형 ABCO 의 한 모서리에서 가로 EF, 세로 DE 인 작은 직사각형을 잘라낸 모양이 됩니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 나누기) 로 문제를 두 단계로 쪼개세요. (a) 직각 구조에서 세로 변의 합을 이용해 DE 를 구하기, (b) "큰 직사각형 − 잘라낸 직사각형 = 52" 식으로 EF 를 구하기. 도구 #13(대수로 바꾸기) 대신 #1 + #7 로 가면 한 번의 뺄셈과 한 번의 짧은 방정식만 풀면 됩니다. 연립방정식이 필요 없습니다.

1STEP 1

FA 를 아래로, DC 를 위로 연장해 꼭짓점 O 를 만들면 직사각형 ABCO — L 은 여기서 작은 직사각형 FEDO 를 뺀 모양입니다.

직사각형 ABCO: 가로 = AB = 8, 세로 = BC = 9

2STEP 2

왼쪽에서 FA 와 DE 가 합쳐져 오른쪽 전체 높이 BC 와 같아야 하므로, FA + DE = BC 에서 DE = 4.

FA + DE = BC → 5 + DE = 9 → DE = 4

3STEP 3

넓이는 큰 직사각형에서 가로 EF, 세로 DE = 4 인 부분을 뺀 값이므로, 72 − 4 × EF = 52 에서 EF = 5.

52 = 8 × 9 - EF × DE = 72 - 4 EF → 4 EF = 20 → EF = 5

4STEP 4

두 작은 문제의 답을 더해 구하는 합을 얻습니다: DE + EF = 4 + 5.

DE + EF = 4 + 5 = 9 → (C)

정답

값을 그림에 다시 넣어 확인합니다. DE = 4, EF = 5 이면 잘라낸 모서리는 가로 5, 세로 4 인 넓이 20 의 직사각형입니다. 큰 직사각형 넓이는 8 × 9 = 72. 빼면 72 - 20 = 52 로 주어진 넓이와 정확히 일치합니다. 크기 점검: DE 는 BC = 9 보다 작아야 하고 (왼쪽 변의 일부일 뿐) EF 는 AB = 8 보다 작아야 하므로 DE + EF ＜ 17. 답 9 는 안전한 범위에 들어갑니다. (A) 7 이면 4 EF = 12 가 되어 넓이가 72 - 12 = 60 ≠ 52 이고, (E) 11 이면 4 EF = 28 이 되어 넓이가 72 - 28 = 44 ≠ 52. 9 만 맞습니다.

💡핵심 정리

L자 모양을 큰 직사각형으로 채우면 빠진 부분은 더 작은 직사각형. "큰 직사각형 − 잘라낸 직사각형 = 52" 가 EF 를, "왼쪽 세로 변의 합 = 오른쪽 세로 변" 이 DE 를 알려 줍니다. 3학년 넓이 계산만으로 풀려요.

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