AMC 8 · 2000 · #7

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

multi-digit-arithmeticsystematic-enumerationparity caseworksystematic-enumerationoptimization-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

집합 {-8, -6, -4, 0, 3, 5, 7} 에서 서로 다른 세 수를 골라 곱합니다. 만들 수 있는 가장 작은(즉, 가장 음수에 가까운) 곱은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-336

(B)

-280

(C)

-210

(D)

-192

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

가장 음수에 가까운 곱을 찾는 문제이므로 도구 #14(극단의 원리)가 핵심입니다. 부호를 음수로 맞춘 다음 각 인수의 크기를 가능한 한 키워야 곱의 크기도 커지죠. 부호 규칙이 후보를 좁혀 줍니다 — 세 수의 곱이 음수가 되려면 음수의 개수가 홀수, 즉 1 개 또는 3 개여야 합니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 두 경우만 비교하면 충분합니다. 0 을 포함하면 곱이 0 이라 최솟값 후보가 아니므로 제외합니다.

1STEP 1

곱이 음수이려면 음수 인수가 홀수 개여야 하므로 후보는 음수 1 개 또는 3 개; 0 을 넣으면 곱이 0 이라 제외.

곱이 음수 ⇔ #음수 인수 ∈ {1, 3}

2STEP 2

경우 A는 음수 셋 -8, -6, -4 을 모두 사용; 둘의 곱은 양수, 셋째가 다시 음수로 뒤집어 -192.

(-8) × (-6) × (-4) = 48 × (-4) = -192

3STEP 3

경우 B(음수 하나·양수 둘): 극단의 원리로 절댓값이 가장 큰 음수와 가장 큰 양수 둘을 골라 -8, 7, 5.

|-8| ＞ |-6| ＞ |-4|, 7 ＞ 5 ＞ 3 → 선택: -8, 7, 5

4STEP 4

경우 B의 곱은 (-8)×7×5 = -280; 수직선에서 -280 ＜ -192 이므로 최솟값은 -280, 선택지 (B).

(-8) × 7 × 5 = -280; -280 ＜ -192 → 최솟값 = -280 → (B)

정답

-280

경우 B에서 다른 선택을 해 봅시다. -8 대신 -6 을 쓰면 (-6) × 7 × 5 = -210 (선택지 C) — -280 보다 덜 음수이므로 -8 이 옳았습니다. -8 에 7 과 3 을 쓰면 (-8) × 7 × 3 = -168 로 역시 덜 음수. 선택지 (A) -336 은 |-8| × (두 수의 곱) = 336, 즉 서로 다른 양수 두 개의 곱이 42 가 되어야 하는데 집합에서 가장 큰 양수 두 개의 곱은 7 × 5 = 35 뿐이므로 -336 은 만들 수 없습니다. 답 (B) -280 이 확실합니다.

💡핵심 정리

최솟값 곱 문제는 곱이 음수가 되는 부호 조합만 나열한 다음, 그 안에서 인수의 크기를 최대한 키우면 됩니다. 짧은 두 가지 경우만 비교해도 추측보다 빠르게 답이 나와요.

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