AMC 8 · 2003 · #12

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basicdivisibility-rulesprime-factorizationcomplementary-countingsystematic-enumeration systematic-enumerationcaseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicdivisibility-rulesfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

공정한 정육면체 주사위를 식탁 위에 던집니다. 바닥면 하나는 보이지 않고 나머지 다섯 면이 보입니다. 보이는 다섯 면의 곱이 6 의 배수가 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1/3

(B)

1/2

(C)

2/3

(D)

5/6

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

가능한 경우의 수는 어떤 면이 바닥인지에 따라 6 가지뿐이라서 일일이 확인할 수도 있지만, 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)을 쓰면 더 짧게 끝납니다. "6 의 배수인가?" 라는 성질이 어떤 면이 가려져도 항상 유지되는지 물어보면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "6 의 배수"를 "2 의 배수?" 와 "3 의 배수?" 두 개의 독립적인 질문으로 나눕니다. 두 답이 항상 "예" 라면 확률은 자동으로 1 입니다.

1STEP 1

도구 #7 로 목표를 쪼갭니다. 곱이 6 의 배수라는 건 곧 2 와 3 으로 모두 나누어떨어진다는 뜻입니다.

곱이 6 의 배수 ⇔ 2 의 배수 AND 3 의 배수

2STEP 2

작은 문제 A: 짝수 면 {2, 4, 6} 은 세 개라, 한 면을 가려도 짝수가 최소 두 개 남아 2 의 인수가 항상 살아남습니다.

|{2, 4, 6}| = 3 → 보이는 짝수 ≥ 3 - 1 = 2 개

3STEP 3

작은 문제 B: 3 의 배수는 {3, 6} 둘뿐이라, 한 면으로는 많아야 하나만 가려 3 의 배수가 항상 보입니다.

|{3, 6}| = 2 → 보이는 3 의 배수 ≥ 2 - 1 = 1 개

4STEP 4

두 작은 문제가 항상 성립하므로 모든 경우의 곱이 6 의 배수 — 확률은 1, 선택지 (E) 입니다.

P =

\frac{\text{유리한 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}

\frac{6}{6}

= 1 → (E)

정답

필요한 소수를 잃을 위험이 가장 큰 두 경우를 확인해 봅니다. 6 을 가리면 보이는 면이 {1, 2, 3, 4, 5} 이고 곱은 120 = 6 × 20. 3 을 가리면 {1, 2, 4, 5, 6} 이고 곱은 240 = 6 × 40. 둘 다 통과합니다. 나머지 네 경우는 3 과 6 이 모두 보이므로 더 안전합니다. 여섯 경우 모두 성립하니 P = 1 로 (E) 와 일치합니다. 함정 선택지

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{5}{6}

은 "바닥 한 면으로 짝수 세 개나 3 의 배수 두 개를 통째로 못 가린다"는 사실을 놓쳤을 때 나오는 값들입니다.

💡핵심 정리

가려지는 면은 단 하나, 그런데 주사위에는 짝수가 세 개, 3 의 배수가 두 개 있습니다. 한 면으로는 그걸 다 가릴 수 없으니 곱은 항상 6 의 배수이고, 확률은 1 입니다.

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