경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2001 · #15
학년 6 rate-ratioalgebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이야기는 두 구간으로 자연스럽게 나뉘어요 — 처음 4 분은 호머 혼자, 그 뒤로는 호머와 크리스튼이 함께. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (a) 호머가 혼자 깎은 양을 구해 44 에서 빼서 남은 감자를 알아내고, (b) 두 사람이 그 남은 양을 같이 깎는 데 걸리는 시간을 구한 뒤 크리스튼의 몫만 따로 읽어내면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 각 단계의 단위 — 개/분 × 분 = 개 — 가 맞는지 확인해 주고, 속도가 같은 단위라 3 + 5 처럼 더할 수 있다는 점도 분명히 해 줍니다.
호머의 처음 4분 세기
호머의 혼자 작업을 셉니다: 분당 3 개로 4 분이면 12 개.
속도 × 시간 = 양. "분" 단위가 약분되어 "개" 만 남는 게 우리가 세고 싶은 양과 정확히 맞습니다.
5.NBT.B.5Analyze The Units남은 감자 수 구하기
더미에서 빼면: 44 에서 12를 빼 32 개가 함께 깎을 몫으로 남습니다.
전체에서 끝낸 만큼을 빼면 남은 양 — 1구간과 2구간을 잇는 다리 역할입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems두 속도 더하기
같은 더미를 나누니 속도를 더합니다: 3 더하기 5는 8 개/분.
단위가 같은 속도는 그대로 더할 수 있습니다. 두 사람이 함께 일하면 합쳐서 분당 8 개가 되는 셈이에요.
5.NBT.B.5Analyze The Units함께 일한 시간 구하기
남은 감자를 합산 속도로 나눕니다: 32를 8로 나누면 4 분 함께 깎습니다.
"개" 를 "개/분" 으로 나누면 "분" 이 남아 — 둘이 함께 일할 때 걸리는 시간이 그대로 나옵니다.
6.RP.A.3Analyze The Units크리스틴의 감자 세기
크리스튼은 함께한 그 시간만 깎았으니: 분당 5 개로 4 분이면 20 개.
크리스튼은 2구간에서만 일했으니 그 사람의 몫은 2구간 시간 × 본인 속도 — 그게 전부입니다.
크리스틴이 깎은 감자 수는 그녀의 일정한 깎는 속도에 2단계의 길이를 곱한 값과 같다 — 2단계는 그녀가 실제로 감자를 깎은 유일한 시간이다.
▸ 왜?
일정한 속도로 깎으면, 누군가 깎은 감자 수는 그 속도에 걸린 분을 곱한 값과 같다 — 속도 곱하기 시간이 양을 준다.
▸ 왜?
1분에 감자 다섯 개라는 일정한 속도는 매 1분마다 감자 다섯 개를 뜻하므로, 여러 분에 걸친 총합은 다섯 개짜리 같은 묶음을 그만큼 더한 것일 뿐이다.
▸ 왜?
크리스틴이 감자를 깎은 분은 오직 2단계에 속한다; 그녀는 감자 더미가 이미 줄어든 뒤에 합류했으므로, 1단계 동안 그녀의 몫은 전혀 없었다.
▸ 왜?
그녀의 1단계 몫은 0이고, 그 0을 2단계 몫에 더해도 2단계 몫은 그대로이므로, 그녀의 총합은 2단계 하나로 정해진다.
▸ 왜?
2단계는 정해진 분만큼 이어진다: 크리스틴이 합류할 때 더미에 남은 감자를, 두 사람의 합쳐진 속도로 없애는 데 걸리는 시간이다.
▸ 왜?
일정한 속도로 정해진 더미를 없애는 시간은 더미 크기를 그 속도로 나눈 값인데, 나눗셈이 작업을 잰 속도 곱하기 시간을 되돌리기 때문이다.
▸ 왜?
합쳐진 속도는 두 개의 따로 된 속도를 더한 것인데, 매 1분마다 더미는 호머의 감자와 크리스틴의 감자를 겹침 없이 잃고, 그 1분의 전체 감소는 두 양을 합친 것이기 때문이다.
▸ 왜?
크리스틴이 합류할 때 더미에 남은 감자는 처음 전체 더미에서 호머가 혼자 깎은 감자를 뺀 것인데, 더미가 겹침 없이 이미 끝난 몫과 남은 몫으로 나뉘기 때문이다.
이야기를 두 구간으로 쪼개세요 — 호머 혼자, 그리고 둘이 함께. 호머가 혼자 깎은 양을 빼고, 합류한 뒤로는 속도를 더해 계산하면, 크리스튼은 4 분 동안 분당 5 개로 20 개, 답은 (A)입니다.
- 호머의 처음 4분 세기
- 남은 감자 수 구하기
- 두 속도 더하기
- 함께 일한 시간 구하기
- 크리스틴의 감자 세기
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