경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2001 · #16

학년 4 geometry-2drate-ratio

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Fold-Cut-Unfold Shape Identification

paper-foldingspatial-visualizationperimeterratio-proportion physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: perimeterratio-proportion

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

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문제

한 변의 길이가 4 인치인 정사각형 종이를 세로 방향으로 반 접습니다. 접힌 종이의 두 겹을 한 번에, 접힌 선과 평행한 한 번의 세로 자르기로 반으로 자릅니다. 펼치면 큰 직사각형 1 개와 작은 직사각형 2 개, 모두 3 개의 직사각형이 생깁니다. 작은 직사각형 하나의 둘레와 큰 직사각형의 둘레의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{3}$

(B)

$\dfrac{1}{2}$

(C)

$\dfrac{3}{4}$

(D)

$\dfrac{4}{5}$

(E)

$\dfrac{5}{6}$

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 실물로 따라하기

문제 전체가 종이에 가해지는 동작 — 접기, 자르기, 펼치기 — 의 연속입니다. 도구 #10(실물로 따라하기)이 가장 정직한 접근입니다. 직사각형 종이 한 장을 잡고 두 동작을 그대로 해 보면 결과 도형의 치수가 바로 읽힙니다. 종이가 없다면 도구 #1(그림 그리기)로 라벨을 단 스케치로 대신할 수 있습니다. 핵심 통찰은 접힌 선을 포함한 잘린 조각은 펼쳤을 때 너비가 두 배가 되어 한 장으로 이어지지만, 바깥 가장자리 둘로 이루어진 조각은 둘을 잡아 줄 접힌 선이 없어 두 장으로 분리된다는 점입니다. 도구 #13(대수)은 일부러 쓰지 않습니다 — 치수만 읽으면 둘레 공식은 3학년 한 줄짜리 계산이기 때문입니다.

1STEP 1

종이 접기

세로선으로 반 접으면 너비가 절반 — 가로 2 인치 × 세로 4 인치 두 겹 직사각형이 됩니다.

접은 뒤: 가로 2 인치 × 세로 4 인치, 두 겹

2STEP 2

종이 자르기

세로 자르기가 2 인치 너비를 두 겹째 반으로 갈라 1 × 4 조각 두 개 — 하나는 접힌 선, 다른 하나는 바깥 가장자리 둘.

두 겹짜리 1 인치 × 4 인치 조각 두 개

3STEP 3

조각 펼치기

접힌 선 조각은 펼치면 너비가 두 배 — 큰 2 × 4 직사각형; 나머지 조각은 작은 1 × 4 직사각형 두 장으로 분리됩니다.

큰: 2 × 4 작은: 1 × 4 (두 개)

펼친 뒤 두 겹을 한 장으로 이어 주는 것은 오직 접힌 선뿐입니다. 바깥 가장자리 조각은 잡아 줄 것이 없으니 두 장으로 흩어집니다.

두 개의 접힌 조각을 펼치면, 접힌 선을 품은 조각은 접혔을 때 너비의 두 배가 되는 하나의 직사각형이 되고, 바깥쪽 가장자리로 이루어진 조각은 각각 접혔을 때 너비를 그대로 유지한 두 개의 분리된 직사각형으로 흩어진다.

▸ 왜?

접힌 선을 품은 조각은 두 겹이 접힌 자국을 따라 이어져 있어서, 접힌 것을 펼치면 한 겹이 다른 겹 옆으로 돌아 나오고, 같은 너비 둘이 합쳐져 두 배 넓은 한 장이 된다.

▸ 왜?

접기는 한 겹을 접힌 자국을 기준으로 뒤집어 다른 겹 위에 정확히 포갠 것이었고, 펼치기는 그 뒤집기를 거꾸로 한 것이라, 돌아 나온 겹은 같은 1인치 너비를 가진 똑같은 복사본이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

같은 1인치 너비 둘이 접힌 자국을 따라 빈틈도 겹침도 없이 나란히 놓이므로, 둘을 합치면 두 너비의 합인 2인치가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

다른 조각의 두 겹은 정사각형의 바깥쪽 가장자리로, 서로 이어진 적이 없고 접힌 자국은 자르기로 사라졌으므로, 조각을 들어 올리면 각각 여전히 1인치 너비인 두 개의 분리된 장이 남는다.

▸ 왜?

그 두 겹은 그저 떨어져 옮겨질 뿐 늘어나거나 줄지 않으므로, 각각 자르기가 준 1인치 너비를 그대로 자기 직사각형의 너비로 지킨다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

4.MD.A.3Draw A Diagram

4STEP 4

둘레 각각 구하기

둘레 = 2 × (가로 + 세로): 작은 1 × 4는 둘레 10, 큰 2 × 4는 둘레 12.

P_작 = 2(1+4) = 10 P_큰 = 2(2+4) = 12

5STEP 5

비 만들어 약분하기

비 $\frac{10}{12}$ 을 만들고 분자·분모를 2로 나누어 약분하면 $\frac{5}{6}$ — 답 (E).

P_작/P_큰 = 10/12 = 5/6 → (E)

정답

5/6

넓이로 점검합니다. 세 조각을 모두 합치면 원래 정사각형 4 × 4 = 16 제곱인치와 같아야 합니다. 큰 조각 2 × 4 = 8, 작은 조각 두 개 각 1 × 4 = 4, 합 8 + 4 + 4 = 16 — 일치합니다. 비

\frac{5}{6}

도 크기 점검을 통과합니다. 작은 직사각형이 큰 직사각형보다 좁으니 둘레가 조금 더 작아야 하고,

\frac{5}{6}

은 1 보다는 작지만 차이가 크지 않아 자연스럽습니다. 함정 선택지도 흔한 실수와 맞습니다 — (B)

\frac{1}{2}

는 둘레가 아닌 가로의 비 1/:2를 본 경우, (A)

\frac{1}{3}

은 작은 조각 하나와 세 조각 전체를 비교한 경우, (C)

\frac{3}{4}

는 펼쳤을 때 접힌 선 조각의 너비가 두 배가 되는 것을 놓친 경우입니다.

💡핵심 정리

직접 접고 자른다고 상상해 보세요. 접힌 선을 가진 조각은 펼치면 2 × 4 큰 직사각형이 되고, 바깥 가장자리 조각은 1 × 4 작은 직사각형 두 장으로 분리됩니다. 둘레 10과 12의 비는 $\frac{5}{6}$ , 답은 (E).

종이 접기
종이 자르기
조각 펼치기
둘레 각각 구하기
비 만들어 약분하기

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종이 접기

종이 자르기

조각 펼치기

둘레 각각 구하기

비 만들어 약분하기

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