AMC 8 · 2001 · #18

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccomplementary-countingmultiplesfraction-arithmetic complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicmultiples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 정육면체 주사위 2 개를 던집니다. 나온 두 수의 곱이 5 의 배수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{36}$

(B)

$\dfrac{1}{18}$

(C)

$\dfrac{1}{6}$

(D)

$\dfrac{11}{36}$

(E)

$\dfrac{1}{3}$

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 (여집합 세기)

먼저 '곱이 5 의 배수'를 '두 주사위 중 적어도 하나가 5'로 바꿉니다 — 5 는 소수이고 주사위에서 5 의 배수는 5 뿐이라 가능한 일이에요. '적어도 하나' 라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기·여집합 세기)의 신호: '정확히 하나', '정확히 둘' 을 따로 더하지 말고, 더 쉬운 반대 사건 '두 주사위 모두 5 가 아님' 을 세서 1 에서 빼면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 6 × 6 = 36 가지 동등 결과의 틀을 잡아주는 보조 도구입니다.

1STEP 1

5 는 소수이고 주사위에서 5 의 배수는 5 뿐이므로, 사건은 '적어도 하나가 5' 로 바뀝니다.

{a · b ≡ 0 (mod 5)} = {a = 5 또는 b = 5}

2STEP 2

두 주사위는 독립이므로 동등한 순서쌍은 6 × 6 = 36 격자를 채웁니다.

|표본공간| = 6 × 6 = 36

3STEP 3

대신 쉬운 반대 사건 '두 주사위 모두 5 아님' 을 세면 $\frac{5}{6}$ · $\frac{5}{6}$ = $\frac{25}{36}$ .

P(5 안 나옴) =

\frac{5}{6}

\frac{5}{6}

\frac{25}{36}

4STEP 4

1 에서 빼면 확률은 1 - $\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$ .

P(적어도 하나 5) = 1 -

\frac{25}{36}

\frac{11}{36}

→ (D)

정답

\frac{11}{36}

6 × 6 격자에서 직접 세 봅니다. 첫 주사위가 5 인 결과: (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) — 6 가지. 둘째 주사위가 5 인 결과: (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5) — 또 6 가지. (5,5) 가 두 목록에 모두 들어가므로 포함-배제로 유리한 결과는 6 + 6 - 1 = 11, 확률은

\frac{11}{36}

— 답 (D) 와 일치합니다. 직관 점검: 한쪽 주사위만 따로 5 일 확률은

\frac{1}{6}

≈ 0.167 이므로 '적어도 하나 5' 는 (5,5) 중복 때문에

\frac{2}{6}

≈ 0.333 보다 살짝 작아야 하고,

\frac{11}{36}

≈ 0.306 이 딱 그 자리.

💡핵심 정리

곱이 5 의 배수가 되려면 적어도 한 주사위가 5 여야 해요. 쉬운 반대 — '둘 다 5 아님', $\frac{5}{6}$ · $\frac{5}{6}$ = $\frac{25}{36}$ — 을 빼서 1 - $\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$ .

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