AMC 8 · 2005 · #21

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basiccomplementary-countingsystematic-enumeration complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

6 개의 점이 2 × 3 격자(위 줄 3 점, 아래 줄 3 점)로 놓여 있습니다. 이 6 개의 점 중 3 개를 꼭짓점으로 골라 만들 수 있는 서로 다른 삼각형은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

삼각형이 되는 경우만 직접 세려면 모든 세 점 묶음에 대해 일일이 일직선 여부를 확인해야 해서 경우의 수가 많습니다. 반대로 "삼각형이 안 되는 경우"는 훨씬 적어요. 3 점 묶음 중 일직선인 것만 빼면 되니까요. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기/여집합 세기)이 잘 맞습니다 — 전체 묶음을 세고, 안 좋은 묶음만 빼는 거죠. 도구 #1(그림 그리기)을 같이 쓰면 2 × 3 격자를 그렸을 때 3 점이 일직선 위에 놓이는 경우(두 가로줄)가 한눈에 보이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 대각선·세로줄까지 빠짐없이 확인합니다.

1STEP 1

6 개의 점에서 순서 없이 3 개를 고르는 모든 방법을 셉니다 — 조합 C(6,3) 으로 20 가지 묶음이 나옵니다.

C(6, 3) =

\frac{6 · 5 · 4}{3 · 2 · 1}

\frac{120}{6}

= 20

2STEP 2

2 × 3 격자를 그려 3 점이 한 직선 위에 놓이는 경우를 찾습니다 — 후보는 가로줄, 세로줄, 대각선뿐입니다.

● ● ● ; ● ● ●

3STEP 3

세로줄은 점이 2 개씩뿐이고 대각선도 최대 2 점만 지나므로, 3 점을 지나는 직선은 두 가로줄뿐입니다.

위 줄: {(0,1),(1,1),(2,1)} ; 아래 줄: {(0,0),(1,0),(2,0)} ; 세로줄: 점이 2 개씩 — 제외 ; 대각선: 점이 최대 2 개 — 제외

4STEP 4

20 가지 묶음에서 일직선인 두 가로줄 2 개를 빼면 18 개의 진짜 삼각형이 남습니다.

20 - 2 = 18 → (C)

정답

경우 나누기로 직접 확인해 봅시다. 진짜 삼각형은 위 줄에서 적어도 1 점, 아래 줄에서 적어도 1 점을 가져야 합니다(아니면 모두 한 줄에 있어 일직선). 경우 1: 위 줄에서 1 점, 아래 줄에서 2 점. 가짓수 C(3, 1) · C(3, 2) = 3 · 3 = 9. 경우 2: 위 줄에서 2 점, 아래 줄에서 1 점. 대칭이므로 마찬가지로 9. 합 = 9 + 9 = 18 으로 답 (C) 와 일치합니다. 여집합 방식과 경우 나누기 방식이 같은 답을 주므로 결과를 믿을 수 있습니다.

💡핵심 정리

3 점을 고르는 거의 모든 경우가 삼각형이 되고 안 되는 경우가 적을 때는, 전체를 세고 안 되는 것만 빼는 게 빠릅니다 — 여기서도 C(6, 3) = 20 에서 일직선인 두 가로줄을 빼면 18 개의 진짜 삼각형이 남아요.

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