AMC 8 · 2007 · #21

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

probability-basiccombinations-basiccomplementary-counting caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

카드 8 장으로 이루어진 덱이 있습니다: 빨간 카드 A, B, C, D 네 장과 초록 카드 A, B, C, D 네 장. 이 중 두 장을 뽑을 때 "이기는 짝"은 색이 같거나 문자가 같은 두 장입니다. 이기는 짝이 나올 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{7}$

(B)

$\frac{3}{8}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{4}{7}$

(E)

$\frac{5}{8}$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적으로 세기

작은 덱에서의 확률은 7학년의 "유리한 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수" 문제로 풀 수 있어요. 도구 #13(체계적으로 세기)이 잘 맞는데, 첫 카드 하나를 고정하고 남은 7 장 중에 그 카드와 "짝이 되는" 카드가 몇 장인지 세면 되거든요. 대칭성 때문에 어떤 카드를 첫 카드로 고르든 결과가 같습니다. 확인용으로 도구 #7(더 작은 문제로 나누기)을 써서 이기는 사건을 "문자가 같음"과 "색이 같음" 두 경우로 분리한 뒤 각 확률을 더해 봅니다.

1STEP 1

첫 카드를 고정하면 남은 7 장이 모두 같은 확률, 그래서 확률은 (이기는 두 번째 카드 수) ÷ 7.

P(이기는 짝) = (이기는 두 번째 카드 수)/7

2STEP 2

첫 카드가 빨강이면 나머지 빨간 카드 3 장이 같은 색 — 즉 같은 색 3 장.

#{같은 색} = 3

3STEP 3

같은 문자를 가진 다른 카드는 초록 한 장뿐 — 즉 같은 문자 1 장, 게다가 앞과 겹치지 않는 카드.

#{같은 문자} = 1

4STEP 4

두 그룹은 절대 겹치지 않으니 이기는 총 카드 수 = 3 + 1 = 4, 확률은 7 중 4.

P(이기는 짝) =

\frac{3 + 1}{7}

\frac{4}{7}

→ (D)

정답

\frac{4}{7}

순서를 따지지 않는 짝의 수로 다시 확인해 봅시다. 전체 짝의 수: C(8, 2) = 28. 같은 색 짝: C(4, 2) + C(4, 2) = 6 + 6 = 12. 같은 문자 짝: 문자마다 한 쌍씩, 4 개 문자 → 4. 두 집합은 겹치지 않으므로(서로 다른 두 카드가 색과 문자를 동시에 같이 가질 수는 없음) 이기는 짝 = 12 + 4 = 16. 확률 =

\frac{16}{28}

\frac{4}{7}

로 (D) 와 일치합니다. 또

\frac{4}{7}

≈ 0.57 로 절반보다 살짝 크다는 점도 자연스럽습니다. 어떤 카드를 뽑아도 짝 후보가 이미 7 장 중 4 장이니까요.

💡핵심 정리

첫 카드를 기준 삼고 남은 7 장 중 짝을 세 보면 — 같은 색 3 장 + 같은 문자 1 장 = 총 4 장. 답은 $\frac{4}{7}$ .

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