경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2001 · #18

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccomplementary-countingmultiplesfraction-arithmetic complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicmultiples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 정육면체 주사위 2 개를 던집니다. 나온 두 수의 곱이 5의 배수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{36}$

(B)

$\dfrac{1}{18}$

(C)

$\dfrac{1}{6}$

(D)

$\dfrac{11}{36}$

(E)

$\dfrac{1}{3}$

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 (여집합 세기)

먼저 '곱이 5의 배수'를 '두 주사위 중 적어도 하나가 5'로 바꿉니다 — 5는 소수이고 주사위에서 5의 배수는 5 뿐이라 가능한 일이에요. '적어도 하나' 라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기·여집합 세기)의 신호: '정확히 하나', '정확히 둘' 을 따로 더하지 말고, 더 쉬운 반대 사건 '두 주사위 모두 5가 아님' 을 세서 1 에서 빼면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 6 × 6 = 36 가지 동등 결과의 틀을 잡아주는 보조 도구입니다.

1STEP 1

사건 간단히 바꾸기

5는 소수이고 주사위에서 5의 배수는 5 뿐이므로, 사건은 '적어도 하나가 5' 로 바뀝니다.

{a · b ≡ 0 (mod 5)} = {a = 5 또는 b = 5}

어려운 사건을 같은 뜻의 더 쉬운 사건으로 바꾸는 6학년 '소인수' 감각을 확률에 그대로 적용한 것.

두 주사위의 곱이 5의 배수가 되는 것은 정확히 두 주사위 중 적어도 하나가 5를 보일 때뿐이다.

▸ 왜?

'정확히 그럴 때'라는 말은 두 사건이 완전히 같은 눈 조합에서 일어난다는 뜻이므로, 양쪽 방향을 모두 확인한다: 5가 나오면 곱은 반드시 5의 배수가 되고, 곱이 5의 배수이면 반드시 주사위 중 하나가 5를 보였어야 한다.

▸ 왜?

한 주사위가 5를 보이면 곱은 다른 면에 5를 곱한 것, 즉 5를 그 면 수만큼 더한 것이고 — 5를 정수 번 더한 것이 바로 '5의 배수'라는 뜻이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

곱이 5의 배수이면 5가 그 곱을 나누므로 5는 두 면 중 하나를 반드시 나눠야 하고, 주사위에서 5가 나누는 면은 5 자신뿐이다.

▸ 왜?

5는 소수이므로 곱의 소인수분해에 들어 있는 5는 두 면 중 한쪽의 소인수분해에서 온 것일 수밖에 없다 — 곱셈은 어느 면에도 없던 소인수를 새로 만들어 내지 못한다.

▸ 왜?

모든 정수는 오직 한 가지 방법으로만 소수의 곱으로 쪼개지고, 곱의 그 유일한 소인수 목록은 두 면의 소인수를 한데 모은 것일 뿐이므로, 곱에 든 모든 소수는 — 5를 포함해 — 이미 두 면 중 하나 안에 들어 있다.

소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.

▸ 왜?

면 1,2,3,4,5,6을 확인해 보면 5로 나누어 나머지가 0인 것은 5뿐이다; 1,2,3,4는 5보다 작고 6은 나머지 1을 남긴다.

나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.

6.NS.B.4Change Focus Count The Complement

2STEP 2

전체 경우 세기

두 주사위는 독립이므로 동등한 순서쌍은 6 × 6 = 36 격자를 채웁니다.

|표본공간| = 6 × 6 = 36

3STEP 3

5가 안 나올 확률 구하기

대신 쉬운 반대 사건 '두 주사위 모두 5 아님' 을 세면 $\frac{5}{6}$ · $\frac{5}{6}$ = $\frac{25}{36}$ .

P(5 안 나옴) = 5/6 · 5/6 = 25/36

4STEP 4

1에서 빼기

1 에서 빼면 확률은 1 - $\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$ .

P(적어도 하나 5) = 1 - 25/36 = 11/36 → (D)

정답

11/36

6 × 6 격자에서 직접 세 봅니다. 첫 주사위가 5 인 결과: (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) — 6 가지. 둘째 주사위가 5 인 결과: (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5) — 또 6 가지. (5,5)가 두 목록에 모두 들어가므로 포함-배제로 유리한 결과는 6 + 6 - 1 = 11, 확률은

\frac{11}{36}

— 답 (D)와 일치합니다. 직관 점검: 한쪽 주사위만 따로 5 일 확률은

\frac{1}{6}

≈ 0.167 이므로 '적어도 하나 5' 는 (5,5) 중복 때문에

\frac{2}{6}

≈ 0.333 보다 살짝 작아야 하고,

\frac{11}{36}

≈ 0.306이 딱 그 자리.

💡핵심 정리

곱이 5의 배수가 되려면 적어도 한 주사위가 5 여야 해요. 쉬운 반대 — '둘 다 5 아님', $\frac{5}{6}$ · $\frac{5}{6}$ = $\frac{25}{36}$ — 을 빼서 1 - $\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$ .

사건 간단히 바꾸기
전체 경우 세기
5가 안 나올 확률 구하기
1에서 빼기

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사건 간단히 바꾸기

전체 경우 세기

5가 안 나올 확률 구하기

1에서 빼기

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