경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2011 · #18

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicsystematic-enumerationcomplementary-counting complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

공정한 6 면체 주사위를 두 번 굴려서 나온 순서쌍 (첫 번째 눈, 두 번째 눈)을 기록합니다. 첫 번째 눈이 두 번째 눈보다 크거나 같을 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

dfrac16

(B)

$dfrac5{12}$

(C)

dfrac12

(D)

$dfrac7{12}$

(E)

dfrac56

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대칭성 찾기

표본 공간은 순서쌍 (a, b)로 이루어진 6 × 6 격자이고, 총 36 가지 결과가 같은 확률로 나옵니다. 도구 #2(대칭성 찾기)의 핵심은 (a, b) ↦ (b, a) 라는 자리 바꾸기입니다 — 이 대응은 "첫 번째 ＞ 두 번째" 결과와 "첫 번째 ＜ 두 번째" 결과를 일대일로 짝지어 주므로 두 사건의 개수가 같아집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "첫 번째 ≥ 두 번째" 사건을 강한 부등식 a ＞ b 와 동점 a = b 라는 서로 겹치지 않는 두 조각으로 나눠서 각각 세고 더하게 해 줍니다. 도구 #3(체계적으로 목록 만들기)은 작은 부분 — 동점 (k, k)의 6 가지 — 을 직접 나열하는 데 쓰이고, Review 단계의 전수 세기 대안 풀이에서도 같은 방식으로 등장합니다.

1STEP 1

전체 경우의 수 세기

두 굴림은 독립·균등하므로 순서쌍 (a, b)는 36 가지 값을 같은 확률로 가집니다.

|Ω| = 6 × 6 = 36

2STEP 2

사건을 둘로 나누기

a ≥ b 를 강부등식 a ＞ b 와 동점 a = b 로 나누면 P(a ≥ b) = P(a ＞ b) + P(a = b) 입니다.

{a ≥ b} = {a ＞ b} a = b

3STEP 3

같은 경우 세기

a = b 인 순서쌍은 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)의 6 가지입니다.

|{a = b}| = 6

4STEP 4

나머지에 대칭 쓰기

자리 바꾸기 (a, b) ↦ (b, a)로 동점 아닌 30 개가 반씩 나뉘어 |{a ＞ b}| = 15 입니다.

|{a ＞ b}| = |{a ＜ b}| = 30/2 = 15

5STEP 5

더한 뒤 나누기

두 조각을 더하면 유리한 결과가 21 가지, 전체 36 가지에서 확률을 얻습니다.

P(a ≥ b) = (15 + 6)/36 = 21/36 = 7/12 → (D)

정답

7/12

동점이 없다면 대칭성에 의해 P(a ＞ b) = P(a ＜ b) =

\frac{1}{2}

· P(a ≠ b)가 됩니다. 따라서 P(a ≥ b) = P(a ＞ b) + P(a = b) =

\frac{1}{2}

(1 - P(a = b)) + P(a = b) =

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

P(a = b)이고, P(a = b) =

\frac{6}{36}

\frac{1}{6}

을 대입하면

\frac{1}{2}

\frac{1}{12}

\frac{7}{12}

로 (D)와 일치합니다. 또한 강한 부등식의 대칭 확률 위에 동점이 더해지므로 답이

\frac{1}{2}

보다 커야 하고, 이로부터 (A), (B), (C)는 모두 제외됩니다.

💡핵심 정리

두 번의 주사위 굴림에는 "자리 바꾸기" 대칭이 숨어 있어요 — a ＞ b 와 a ＜ b 가 같은 횟수로 일어나니, 동점 6 가지만 위에 더해 주면 끝입니다.

전체 경우의 수 세기
사건을 둘로 나누기
같은 경우 세기
나머지에 대칭 쓰기
더한 뒤 나누기

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전체 경우의 수 세기

사건을 둘로 나누기

같은 경우 세기

나머지에 대칭 쓰기

더한 뒤 나누기

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