경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2001 · #21
학년 6 arithmeticnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
다섯 수의 합은 75로 고정입니다. 그러니까 가장 큰 수를 최대로 만드는 것은 나머지 네 수를 최소로 만드는 것과 같은 말이에요 — 이것이 도구 #11 (거꾸로 풀기)의 핵심입니다. 목표 ("가장 큰 수") 에서 출발해, 나머지 자리에 들어갈 수 있는 가장 작은 값들을 거꾸로 끼워 넣는 거죠. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)는 다섯 자리를 작은 것부터 큰 것까지 순서대로 늘어놓아, 중앙값 조건과 "서로 다른 양의 정수" 조건을 자리별로 하나씩 확인하기 쉽게 해 줍니다.
평균을 합으로 바꾸기
다섯 수의 평균이 15 이므로 합은 5 × 15 = 75 로 고정입니다.
평균 × 개수 = 총합. 총합이 고정되면 "한 자리를 키우기" 는 "다른 자리를 줄이기" 와 같은 뜻이 됩니다.
6.SP.B.5Work Backwards다섯 자리 순서대로 놓기
자리를 a₁ ＜ a₂ ＜ a₃ ＜ a₄ ＜ a₅로 정렬하면 중앙값은 가운데 값이라 a₃ = 18, 아래 둘·위 둘.
먼저 정렬해 두면 중앙값 규칙이 한눈에 보입니다 — 세 번째 자리가 곧 가운데 값이에요.
6.SP.A.3Make A Systematic List작은 두 수 최소로 하기
중앙값 아래 두 자리는 18 미만의 서로 다른 양의 정수라, 가장 작은 a₁ = 1, a₂ = 2.
중앙값 아래 두 자리를 최대한 줄이려면, 서로 다른 가장 작은 두 양의 정수를 고르면 됩니다.
6.EE.B.8Work Backwards네 번째 수 최소로 하기
a₄는 18 보다 크고 a₅ 보다 작은 정수라, 가장 작은 값은 a₄ = 19.
중앙값 바로 위 자리는 18을 넘어야 하고, 그 조건을 만족하는 가장 작은 정수는 19입니다.
6.EE.B.8Work Backwards합에서 가장 큰 수 구하기
나머지 네 합은 1 + 2 + 18 + 19 = 40 이므로 a₅ = 75 - 40 = 35 → (D).
나머지 네 자리를 최솟값으로 못 박으면, 75 에서 남는 값이 곧 가장 큰 수의 최댓값입니다.
다섯 수 중 가장 큰 수는 나머지 네 수를 규칙이 허용하는 만큼 작게 만들 때 정확히 가장 커지며, 그때 고정된 전체 합에서 남는 몫이 바로 그 가장 큰 수이다.
▸ 왜?
가장 큰 수는 고정된 전체 합에서 나머지 네 수를 뺀 것일 뿐이므로, 그 네 수를 최소로 밀어내릴수록 가장 큰 수는 최고점까지 올라간다.
▸ 왜?
그 전체 합은 어떤 수를 고르기도 전에 이미 정해져 있다: 평균은 전체 합을 다섯에 균등하게 나눈 것일 뿐이므로, 전체 합은 평균 곱하기 개수 — 15 × 5 = 75 — 이고 평균이 고정되는 바로 그 순간 함께 고정된다.
▸ 왜?
그 합을 고정한 채로 보면, 네 개의 작은 수와 가장 큰 수가 빈틈도 겹침도 없이 그 합을 채우므로, 가장 큰 수는 정확히 전체 합에서 그 네 수를 뺀 것이고 — 그 네 수의 합이 작을수록 남는 몫은 더 커진다.
평균이 고정이면 총합도 고정. 한 수를 가장 크게 만들려면 나머지 네 수를 법이 허용하는 가장 작은 값까지 끌어내리면 됩니다. 여기서는 최솟값이 1, 2, 18, 19 이므로 가장 큰 수는 75 - 40 = 35 — 답은 (D).
- 평균을 합으로 바꾸기
- 다섯 자리 순서대로 놓기
- 작은 두 수 최소로 하기
- 네 번째 수 최소로 하기
- 합에서 가장 큰 수 구하기
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