경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2001 · #9

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-rectanglesarea-trianglessimilar-figurescoordinate-geometry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglessimilar-figures
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
주느비에브의 작은 연은 6 × 7 점 격자 위에 있고, 꼭짓점은 (3,0),(0,5),(3,7),(6,5) 입니다. 큰 연은 격자의 가로·세로를 모두 3 배로 늘려 만듭니다. 큰 격자를 정확히 덮는 직사각형 모양의 금박에서 연 바깥의 네 모서리 조각은 잘려 버려지죠. 버려지는 금박의 넓이는 몇 제곱인치일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
63
(B)
72
(C)
180
(D)
189
(E)
264

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

연 문제는 그림 문제예요. 먼저 18 × 21 직사각형 안에 연을 스케치합니다(도구 #1). 그림이 나오면 문제는 작은 세 단계로 깔끔하게 갈라져요(도구 #7): (가) 직사각형 넓이, (나) 연의 넓이, (다) 두 값을 빼서 버려지는 부분 구하기. 그림을 그려 보면 지름길도 보이는데, 연의 두 대각선이 직사각형의 가로·세로와 그대로 같아서 연은 정확히 절반을 차지합니다. 먼저 그리고 그다음 계산하는 흐름 덕분에 6학년 "도형 합성·분해" 수준에서 끝나고, 무거운 도구를 꺼낼 필요가 없습니다.

1STEP 1

은박지 넓이 구하기

6 × 7 격자를 3 배 해 18 × 21 금박 직사각형을 만들면 넓이는 378 in².

금박 넓이 = 18 × 21 = 378 in²
2STEP 2

연의 대각선 표시하기

꼭짓점을 3 배 하면 세로 대각선은 길이 21, 가로 대각선은 18 — 둘 다 직사각형의 변을 꽉 채웁니다.

d₁ = 21 in, d₂ = 18 in
3STEP 3

연의 넓이 구하기

작은 문제 — 연의 넓이는 ½·d₁·d₂ = ½ × 21 × 18 = 189 in².

연의 넓이 = 1/2 × 21 × 18 = 378/2 = 189 in²
4STEP 4

빼서 버리는 양 구하기

작은 문제 — 버려지는 넓이는 연이 남긴 부분: 378 − 189 = 189 in², 답 (D).

버려지는 넓이 = 378 - 189 = 189 in² → (D)
정답
189
연의 두 대각선이 18과 21 — 직사각형의 두 변과 정확히 같습니다. 그래서 연의 넓이는 12\frac{1}{2} d₁ d₂ = 12\frac{1}{2} · (직사각형 넓이), 즉 직사각형의 정확히 절반이고, 네 모서리 조각도 나머지 절반입니다. 378의 절반은 189로 답 (D)와 일치합니다. 다른 각도의 검산도 됩니다. 모든 길이를 3 배 늘리면 넓이는 9 배가 됩니다. 작은 격자 넓이는 42 in{}², 작은 연의 넓이는 12\frac{1}{2} · 6 · 7 = 21 in{}², 그러니 작은 버려지는 부분은 42 - 21 = 21 in{}². 여기에 9를 곱하면 21 × 9 = 189 in{}². 서로 독립한 두 풀이가 같은 답을 줍니다.
💡핵심 정리

18 × 21 금박 안에 연을 그려 보세요. 연의 두 대각선이 직사각형의 가로·세로와 그대로 같아서 연은 정확히 절반을 차지합니다. 네 모서리 조각도 나머지 절반 — 189 in{}², 답은 (D).

  • 은박지 넓이 구하기
  • 연의 대각선 표시하기
  • 연의 넓이 구하기
  • 빼서 버리는 양 구하기

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