경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2002 · #20

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trianglessimilar-trianglessimilar-figuresfraction-arithmetic area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
삼각형 XYZ 의 넓이는 8 제곱인치입니다. A 는 XY 의 중점, B 는 XZ 의 중점이고, X 에서 내린 수선 XC 는 YZ 를 이등분합니다. 아래는 YC, 왼쪽은 XY, 위쪽은 A 에서 XC 의 중점 D 로 이어지는 선분, 오른쪽은 XC 로 둘러싸인 색칠된 사각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$1\frac{1}2$
(B)
2
(C)
$2\frac{1}2$
(D)
3
(E)
$3\frac{1}2$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

색칠된 사각형을 한 번에 공략하기보다 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 조각으로 나누는 게 깔끔합니다. 먼저 왼쪽 절반 삼각형 △ XYC 를 구하고, 그 안에 들어 있는 색칠되지 않은 작은 위쪽 삼각형 △ XAD 를 구하면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 대칭을 따라갑니다. 수선이 △ XYZ 를 합동인 두 조각으로 나누고, 중점을 잇는 AB는 XC의 중점 D 에서 만납니다. 마무리는 도구 #16(관점 바꾸기) — 색칠된 넓이는 절반 삼각형에서 작은 위쪽 삼각형을 뺀 값입니다.

1STEP 1

높이로 절반 나누기

XC 는 YZ 를 이등분하는 수선이라 △ XYZ 는 이등변삼각형, XC 가 넓이 4 인 합동 직각삼각형 둘로 나눕니다.

Area(△ XYC) = 1/2 · 8 = 4 제곱인치
2STEP 2

작은 삼각형 찾기

AB 는 두 중점을 이어 YZ 에 평행하고 XC 를 중점 D 에서 만나므로, △ XYC 의 비색칠 부분은 위쪽 작은 △ XAD 입니다.

XA = 1/2 XY, XD = 1/2 XC
3STEP 3

작은 삼각형 넓이 구하기

△ XAD 와 △ XYC 는 X 의 각을 공유하고 변 비가 1:2 라 넓이는 (12\frac{1}{2})² = 14\frac{1}{4} 로 줄어 △ XAD 넓이는 1 제곱인치.

Area(△ XAD) = 1/4 · 4 = 1 제곱인치
4STEP 4

작은 삼각형 빼기

색칠된 사각형은 △ XYC 에서 위쪽 작은 △ XAD 를 뺀 것이라 4 - 1 = 3 제곱인치.

색칠된 넓이 = Area(△ XYC) - Area(△ XAD) = 4 - 1 = 3 → (D)
정답
3
좌표로 검증해 봅시다. Y=(0,0), Z=(10,0), X=(5,4)로 놓으면 YZ=10, 높이 =4, 넓이 = 12\frac{1}{2} · 10 · 4 = 20. 문제의 넓이 8에 맞추려면 모든 넓이에 820\frac{8}{20} = 25\frac{2}{5} 를 곱하면 됩니다. 이 좌표에서 A=(2.5,2), C=(5,0), D=(5,2) 이므로 색칠된 사각형의 꼭짓점은 Y=(0,0), A=(2.5,2), D=(5,2), C=(5,0) — 평행한 두 변 YC=5, AD=2.5, 높이 2의 사다리꼴이고 넓이는 12\frac{1}{2}(5+2.5)(2) = 7.5. 축척을 적용하면 7.5 · 25\frac{2}{5} = 3 제곱인치 — (D)와 일치합니다. 또 작은 비색칠 삼각형이 절반 삼각형의 14\frac{1}{4} 이므로 색칠된 부분은 34\frac{3}{4} 인 3, 전체 8의 38\frac{3}{8} 도 정확히 3입니다.
💡핵심 정리

삼각형의 절반에서 작은 모서리를 빼면 됩니다 — 대칭선이 4를, 절반 축척 닮음 삼각형이 1을 주고, 4 - 1 = 3이 색칠된 부분의 넓이예요.

  • 높이로 절반 나누기
  • 작은 삼각형 찾기
  • 작은 삼각형 넓이 구하기
  • 작은 삼각형 빼기

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