AMC 8 · 2002 · #11

학년 4 geometry-2dcounting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

perfect-squarespattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticperfect-squares

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

단위 타일로 정사각형들을 차례로 만듭니다. 각 정사각형의 한 변은 바로 앞 정사각형의 한 변보다 타일 하나만큼 깁니다. 7 번째 정사각형은 6 번째 정사각형보다 타일이 몇 개 더 필요한가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

그림이 이미 처음 세 경우를 보여 주고 있어요. 이건 도구 #5(패턴 찾기)의 신호입니다 — 작은 정사각형들의 타일 수를 직접 세어 규칙을 찾으면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 패턴을 믿을 수 있게 만드는 안전장치예요. n = 1, 2, 3 처럼 눈으로 셀 수 있는 작은 경우에서 규칙을 확인한 뒤에 큰 경우에 적용합니다. "n 번째 정사각형은 n² 개의 타일" 규칙이 잡히면, 6 번째와 7 번째 차이는 뺄셈 한 번으로 끝나요. 대수가 필요 없습니다.

1STEP 1

그려진 정사각형들의 타일 수를 세면 1, 4, 9 개입니다.

1번째: 1 개, 2번째: 4 개, 3번째: 9 개

2STEP 2

1, 4, 9 는 1², 2², 3² 이므로 n 번째 정사각형은 n² 개의 타일을 씁니다.

n번째 정사각형의 타일 수 = n²

3STEP 3

n² 을 적용하면 6 번째는 36 개, 7 번째는 49 개입니다.

6번째: 6² = 36, 7번째: 7² = 49

4STEP 4

차이를 구하면 49 - 36 = 13 개, 답 (C).

49 - 36 = 13 → (C)

정답

6 번째에서 7 번째 정사각형으로 키우는 그림으로 확인해 봅시다. 6 × 6 정사각형(36 개)에서 시작해서 위쪽에 7 개, 오른쪽에 7 개의 타일을 새로 붙입니다. 오른쪽 위 모서리 한 칸은 두 번 세지지 않도록 한 번 빼주면 추가 타일 수는 7 + 7 - 1 = 13 개로 49 - 36 = 13 과 일치합니다. 또한 연속된 정사각형들의 타일 수 차이는 4-1=3, 9-4=5, 16-9=7, … 로 홀수 수열이므로 6 번째에서 7 번째로 가는 차이는 6 번째 홀수 = 2 · 6 + 1 = 13. 같은 답 (C).

💡핵심 정리

작은 경우(1, 4, 9)를 세어 "정사각수" 규칙을 찾고, 7² - 6² = 49 - 36 = 13 으로 빼면 답 (C).

비슷한 유형 더 풀어보기