AMC 8 · 2009 · #18

학년 4 pattern

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionperfect-squaresarea-rectangles pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-rectanglesperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

7 피트 × 7 피트 바닥을 1 제곱피트짜리 검은 타일과 흰 타일로 줄무늬 모양으로 깐다고 합니다 — 네 모서리는 흰색이고, 가장자리에서 한 칸 안쪽부터 한 줄 건너 한 줄씩 검은 줄(가로 줄·세로 줄)이 배치됩니다. 같은 규칙으로 15 피트 × 15 피트 바닥을 깔 때 필요한 흰 타일 수를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

126

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

15 × 15 를 곧바로 세는 건 번거롭습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 같은 규칙을 한 변이 작은 홀수 — 1 × 1, 3 × 3, 5 × 5, 7 × 7 — 에 적용해 손으로 세고, 도구 #5(패턴 찾기) 로 네 개의 결과에서 규칙을 뽑아 한 변이 15 인 경우로 확장합니다. 7 × 7 은 그림이 이미 제공되어 있어 출발점이 명확합니다.

1STEP 1

흰 타일은 가로·세로가 모두 홀수인 칸뿐이라, 7 × 7 은 홀수 줄 4 개 × 4 개 = 16 개.

7 × 7 의 흰 타일 = 4 × 4 = 16

2STEP 2

같은 방식으로 세면 1 × 1 은 1, 3 × 3 은 4, 5 × 5 는 9 — 16 과 이어 목록 1, 4, 9, 16.

1, 4, 9, 16

3STEP 3

이 값들은 제곱수 1², 2², 3², 4² 이므로, 한 변이 k 번째 홀수인 바닥의 흰 타일은 k² 개.

흰 타일(s) = k² (s = 2k - 1)

4STEP 4

홀수 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 에서 15 는 8 번째이므로 k = 8.

15 = 2 × 8 - 1 → k = 8

5STEP 5

k = 8 을 대입하면 8² = 64 개, 즉 (C).

흰 타일(15) = 8² = 64 → (C)

정답

다른 각도로 패턴을 점검합니다. 한 변이 홀수 s = 2k - 1 인 바닥에서 흰 타일은 "홀수 가로 줄 × 홀수 세로 줄" 교차점들이라 k × k 격자 모양 — 즉 k² 개. s = 7 이면 k = 4, k² = 16 으로 그림과 일치. s = 15 이면 k = 8, k² = 64. 전체 15 × 15 = 225 타일 중 64 개가 흰색이라는 결과는 검은 줄무늬가 바닥의 대부분을 덮는다는 직관에도 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "제곱수로 이어지는 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

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