AMC 8 · 2004 · #15

학년 4 counting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsystematic-enumerationspatial-visualization pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticspatial-visualization

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

검은 육각형 타일 13 개와 흰 육각형 타일 6 개로 만들어진 그림이 있습니다. 같은 크기·모양의 흰 육각형 타일로 한 겹의 테두리를 둘러 새 그림을 만듭니다. 새 그림에서 (흰 타일 전체 수) - (검은 타일 전체 수) 는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

그림은 가운데 타일을 중심으로 동심 육각형 겹들로 이루어져 있어요. 새 테두리는 그 다음 겹일 뿐이에요. 겹별 타일 수가 6, 12, … 처럼 매번 6 씩 늘어나는 것을 알아채면 다음 겹은 18 개로 정해지므로 도구 #5(패턴 찾기)가 주도구입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 겹의 개수와 색을 작은 표에 정리하면 "새로 추가된 흰 타일, 그대로인 검은 타일" 이 한눈에 보여 마지막 뺄셈이 깔끔하게 떨어집니다.

1STEP 1

그림을 가운데+겹으로 나눕니다: 중앙 검정 1, 1겹 흰 6, 2겹 검정 12 — 주어진 13 과 6 에 일치.

겹 & 타일 수 & 색 ; 중앙 & 1 & 검정 ; 1겹 & 6 & 흰색 ; 2겹 & 12 & 검정 검정 = 1+12 = 13, 흰색 = 6 (문제와 일치)

2STEP 2

겹 크기가 6, 12, … 로 매번 6 씩 늘어, 새 테두리는 3겹이라 18 개입니다.

6, 12, 18, … (n 겹은 6n 개) → 3겹 = 18

3STEP 3

검정은 13 그대로, 흰색은 기존 6 에 새 테두리 18 을 더해 24 개.

검정 = 13 (변화 없음), 흰색 = 6 + 18 = 24

4STEP 4

마무리 뺄셈: 흰색 전체에서 검정 전체를 빼면 문제가 묻는 차이가 나옵니다.

24 - 13 = 11 → (C)

정답

다른 방식으로 확인해 봅니다. 테두리까지 더한 전체 타일 수는 1 + 6 + 12 + 18 = 37. 그 중 13 개가 검정이므로 흰색은 37 - 13 = 24 개, 차는 24 - 13 = 11 — 답 (C) 와 같습니다. 오답 점검: 새 흰 타일이 18 개 추가되고 검은 타일은 늘지 않았으니 차이는 원래 6 - 13 = -7 에서 +18 만큼 움직여 +11 이 되어야 합니다. 그래서 (A) 5, (B) 7 은 너무 작고, (E) 18 은 새 겹의 크기일 뿐 차이가 아닙니다. (D) 12 가 되려면 흰 타일이 6 개만 더 필요한데 새 겹은 18 개이므로 맞지 않습니다. 결과적으로 (C) 만 일관됩니다.

💡핵심 정리

육각형 새 겹은 매번 정확히 6 개씩 늘어요 — 규칙만 알면 새 테두리 크기는 저절로 정해지고, 남은 건 뺄셈 한 줄뿐이에요.

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