AMC 8 · 2002 · #17

학년 4 arithmeticalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

linear-equations-one-varguess-and-checksystematic-enumeration convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

10 문제짜리 시험에서 한 문제 맞히면 +5 점, 틀리면 -2 점입니다. Olivia 가 모든 문제를 풀어 총점 29 점을 받았다면, 맞힌 문제는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

맞힌 수로 가능한 경우는 0 부터 10 까지 11 가지뿐이고 선택지가 5 개로 더 좁혀 주므로, 값을 직접 넣어 보는 편이 대수보다 빠릅니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 그대로 통합니다 — 맞힌 수를 정하고, 짝이 되는 틀린 수와 함께 점수를 계산하면 됩니다. 도구 #5(규칙 찾기) 를 덧붙이면 검색이 훨씬 짧아집니다 — 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 점수는 매번 -5 - 2 = -7 점 변합니다. 이 "교체 한 번에 점수 -7" 규칙 덕분에 검색이 단순한 나눗셈으로 줄어듭니다 — 점수 차이를 7 로 나누면 전부 맞힌 기준에서 몇 번을 틀려야 Olivia 의 점수가 나오는지 바로 알 수 있죠.

1STEP 1

전부 맞힌 기준에서 출발: 10 문제를 다 맞히면 50 점입니다.

10 × 5 = 50 점

2STEP 2

목표는 29 점이니 기준 50 에서 21 점만큼 내려와야 합니다.

50 - 29 = 21 점 만큼 내려가야 함

3STEP 3

맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 +5 가 사라지고 -2 감점이 붙어 점수가 7 점 떨어집니다.

5 + 2 = 7 점 / 교체

4STEP 4

차이를 나누면 21 ÷ 7 = 3 틀림, 그래서 10 - 3 = 7 개가 맞은 답 — (C).

21 ÷ 7 = 3 틀림 → 10 - 3 = 7 맞힘 → (C)

정답

총합을 직접 확인합니다. 맞힌 답 7 개, 틀린 답 3 개일 때 답한 문제 수 = 7 + 3 = 10 (일치), 점수 = 7 × 5 - 3 × 2 = 35 - 6 = 29 (일치). 또한 답은 "전부 틀린" 점수 -20 과 "전부 맞힌" 점수 50 사이에 있어야 하는데, 29 가 그 안에 들어가니 유효한 조합이 존재합니다. 함정 선택지도 직접 깔립니다 — 맞힌 답 5 개면 25 - 10 = 15, 6 개면 30 - 8 = 22, 8 개면 40 - 4 = 36, 9 개면 45 - 2 = 43. 29 가 되는 건 7 뿐입니다.

💡핵심 정리

가장 단순한 가정(전부 맞힘)에서 출발한 뒤, 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꿀 때마다 점수가 딱 7 점 떨어진다는 규칙을 알아채면, 점수 차이를 7 로 나눈 값이 곧 틀린 답의 수입니다. 대수 없이도 이 AMC 8 문제는 4학년 다단계 문장제로 풀려요.

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