AMC 8 · 2002 · #2

학년 4 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

linear-diophantinesystematic-enumerationparitybound-inequality-then-enumerate systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

5 지폐와 2 지폐만 사용해서 정확히 17 을 만드는 서로 다른 방법이 몇 가지인지 세는 문제입니다. 두 방법은 각 지폐 장수가 같으면 같은 방법으로 봅니다 (순서는 따지지 않습니다).

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

5 지폐의 장수는 0, 1, 2, 3 중 하나밖에 될 수 없습니다. 4 × 5 = 20 이라서 네 장이면 이미 17 을 넘기 때문이죠. 후보가 단 네 가지라 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 모든 경우를 금방 확인할 수 있습니다. 각 경우마다 도구 #6(추측과 확인) 으로 "5 를 빼고 남은 돈이 2 의 배수인가?" 라는 같은 질문을 던지면 됩니다. "예" 라고 답한 경우의 수만 세면 끝입니다 — 대수나 정수론 없이도 풀립니다.

1STEP 1

5 지폐 네 장이면 20 으로 17 을 넘으니, 장수는 0, 1, 2, 3 네 경우뿐이에요.

4 × 5 = 20 ＞ 17 → 5 장수 ∈ {0, 1, 2, 3}

2STEP 2

각 경우의 남은 금액을 2 지폐로 채우려면, 남은 금액이 짝수일 때만 가능해요.

5 장수 & 남은 금액 & 2 장수 ; 0 & 17 & 17 ÷ 2 = 8.5 (불가) ; 1 & 12 & 12 ÷ 2 = 6 (가능) ; 2 & 7 & 7 ÷ 2 = 3.5 (불가) ; 3 & 2 & 2 ÷ 2 = 1 (가능)

3STEP 3

가능한 경우는 5 한 장+2 여섯 장, 5 세 장+2 한 장 — 정확히 2 가지 조합, (A) 예요.

(1, 6): 5 + 12 = 17 ✓ (3, 1): 15 + 2 = 17 ✓ → 2 가지 → (A)

정답

두 조합이 정말 17 인지 확인합니다. 1 × 5 + 6 × 2 = 5 + 12 = 17, 3 × 5 + 1 × 2 = 15 + 2 = 17. 둘 다 맞습니다. 또한 패턴으로도 확인할 수 있어요: 5 를 뺀 남은 금액이 짝수여야 하고 17 은 홀수이므로, 5 장수는 홀수여야 합니다 (홀수 - 홀수 = 짝수). {0,1,2,3} 중 홀수는 1 과 3 — 정확히 두 가지로 답 (A) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

"조합이 몇 가지냐" 라는 문제에서는 먼저 더 적게 쓰는 쪽의 범위부터 정해 보세요 — 여기선 5 지폐가 0, 1, 2, 3 장 중 하나뿐입니다. 그 짧은 목록을 훑으면서 남은 금액을 확인하면 답이 바로 나옵니다: 2 가지, (A).

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