AMC 8 · 2002 · #25

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

로키, 모, 닉이 각자 자기 돈의 일부를 오트에게 줍니다. 모는 자기 돈의

\frac{1}{5}

, 로키는

\frac{1}{4}

, 닉은

\frac{1}{3}

을 주었는데, 세 사람이 준 금액은 모두 같습니다. 오트는 처음에 돈이 한 푼도 없었어요. 지금 네 친구가 가진 돈을 모두 더한 금액 중 오트가 가진 돈은 몇 분의 몇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{2}{5}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

문제는 구체적인 금액 대신 분수와 "준 금액이 모두 같다"는 조건만 줍니다. 그 "같은 금액"이 모든 관계를 묶는 핵심 고리이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그 값을 x 라 놓으면 세 친구의 처음 돈이 모두 x 의 배수로 깔끔히 떨어집니다. 모는 5x, 로키는 4x, 닉은 3x 가 되어 답이 단순한 비율이 되죠. 도구 #6(추측하고 확인하기)는 x = 5 같은 구체값으로 답이 같은지 빠르게 확인해 주는 보조 도구입니다.

1STEP 1

각 친구가 오트에게 준 같은 금액을 x 라 하면, 오트는 x 를 세 번 받아 3x 를 가집니다.

오트의 돈 = x + x + x = 3x

2STEP 2

역수를 곱해 처음 돈을 구하면 모는 5x, 로키는 4x, 닉은 3x 입니다.

\frac{1}{5}

M = x → M = 5x;

\frac{1}{4}

L = x → L = 4x;

\frac{1}{3}

N = x → N = 3x

3STEP 3

돈은 옮겨질 뿐 총합은 그대로이니 처음 잔액을 더하면 전체는 12x 입니다.

전체 = 5x + 4x + 3x + 0 = 12x

4STEP 4

오트의 3x 를 전체 12x 로 나누면 $\frac{1}{4}$ , 곧 (B) 입니다.

오트/전체 = 3x/12x =

\frac{3}{12}

\frac{1}{4}

→ (B)

정답

\frac{1}{4}

구체적인 값으로 확인해 봅시다. x = 5 라 놓으면 모는 25, 로키는 20, 닉은 15, 오트는 0 으로 시작해 전체는 60. 세 친구가 각자 5 씩 주면 오트는 15 를 갖게 되고,

\frac{15}{60}

\frac{1}{4}

으로 (B) 와 일치합니다. 크기도 자연스러워요 — 오트는 세 친구의 "한 조각"씩을 합쳐 가졌으니 네 사람 몫의 약 4분의 1이 되는 게 맞습니다.

💡핵심 정리

서로 다른 세 분수가 똑같은 금액을 만들 때는 그 금액을 x 로 두면 처음 돈이 각각 5x, 4x, 3x 로 떨어집니다. 마지막에는 x 가 약분되어 사라지므로 답은 단순한 비율이 돼요.

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