경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2023 · #22
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
출발 값이 두 개(a₁, a₂)인데 조건은 단 하나(a₆ = 4000)이므로, 미지수에 문자를 붙여 점화식을 따라 전개해 두 미지수에 대한 "하나의 식" 으로 정리하는 것이 자연스럽습니다 — 이것이 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적인 쓰임입니다. 항을 하나씩 곱해 가다 보면 a 의 지수와 b 의 지수가 각각 피보나치 수열 모양(0,1,1,2,3,5,…)을 따른다는 점을 발견할 수 있는데, 이 패턴 인식이 도구 #5(패턴 찾기)의 역할이며 전개의 손맛을 한결 가볍게 해 줍니다. 마지막에 4000의 소인수분해와 지수를 맞춰 a, b 를 읽어내는 것은 대수가 일을 끝낸 뒤의 깔끔한 수론적 마무리입니다.
처음 두 항 이름 붙이기
모르는 첫 두 항에 문자를 붙입니다: a₁ = a, a₂ = b (양의 정수). 첫째 항을 구하는 일은 곧 a 를 찾는 일입니다.
모르는 수를 문자로 두는 것은 6학년 "문자가 수를 대신하는 식" 의 기본 동작입니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra여섯째 항까지 만들기
규칙을 한 항씩 적용하면 a 와 b 의 지수가 각각 피보나치 모양으로 늘어나 a₆ = a³ b⁵가 됩니다.
주어진 규칙으로 새 항들을 만들어내고 지수의 변화를 관찰하는 것은 5학년 "규칙으로 수열 만들기" 그대로입니다.
규칙을 여섯째 항까지 밀고 나가면 첫째 항은 인수로 세 번, 둘째 항은 다섯 번 쓰이게 되어 a₆ = a³ b⁵이 된다.
▸ 왜?
모든 항은 바로 앞 두 항의 곱이므로, 한 항 안에 든 첫째 항 인수의 개수는 앞 두 항에 든 첫째 항 인수 개수의 합과 같고 둘째 항도 마찬가지다. 개수 (1,0)과 (0,1)에서 시작해 매번 앞 두 개를 더해 가면 여섯째 항에서 3과 5에 이른다.
▸ 왜?
한 항에 다른 항을 곱하면 두 항의 인수가 모두 하나의 곱으로 모이므로, 그 곱에 든 첫째 항 인수의 개수는 두 개수를 더한 값이 되고 둘째 항도 마찬가지다.
▸ 왜?
곱 안에서는 인수들을 자유롭게 다시 묶고 순서를 바꿀 수 있으므로, 흩어진 첫째 항의 사본을 하나의 개수로 모으고 둘째 항의 사본도 따로 모을 수 있다.
▸ 왜?
어느 인수를 먼저 곱할지 다시 묶어도 곱은 변하지 않으므로, 흩어진 사본들을 나란히 서도록 다시 묶을 수 있다.
▸ 왜?
두 인수의 순서를 바꿔도 곱은 변하지 않으므로, 같은 사본들을 세기 전에 서로 옆으로 옮겨 놓을 수 있다.
여섯째 항 식 세우기
문자로 쓴 여섯 번째 항을 주어진 값과 같다고 놓으면 a³ b⁵ = 4000 이라는 하나의 식이 생깁니다.
a³, b⁵ 처럼 자연수 지수를 가진 식을 읽고 쓰는 것은 6학년 거듭제곱 식의 출발점입니다.
6.EE.A.1Convert To Algebra4000을 소인수분해하기
오른쪽의 값도 소인수분해해 양변의 지수 모양을 맞춥니다: 4000 = 2⁵ · 5³.
수를 소인수의 거듭제곱으로 쪼개는 것은 최대공약수·최소공배수를 다룰 때 쓰는 바로 그 6학년 기술입니다.
6.NS.B.4Convert To Algebra지수끼리 맞추기
유일한 소인수분해에서 지수를 맞추면 a³은 5³, b⁵은 2⁵과 짝지어져 a = 5, b = 2 — 첫째 항은 (D)입니다.
유일한 소인수분해 위에서 지수를 맞춰 미지수를 읽어내는 것은 6학년 거듭제곱 식을 "논리적으로 비교" 하는 활용입니다.
6.EE.A.1Convert To Algebra이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱과 소인수분해만 알면 풀 수 있어요!
- 처음 두 항 이름 붙이기
- 여섯째 항까지 만들기
- 여섯째 항 식 세우기
- 4000을 소인수분해하기
- 지수끼리 맞추기
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