AMC 8 · 2002 · #4

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsplace-valuepattern-recognitionsystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

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문제

2002 는 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 수, 즉 회문(回文)입니다. 2002 이후에 나오는 가장 가까운 회문 연도를 찾고, 그 네 자리 숫자를 모두 곱한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 규칙 찾기

4 자리 회문은 항상 ABBA 꼴입니다 — 천의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 같고, 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 같다는 뜻이죠. 도구 #5(규칙 찾기)가 바로 이 모양을 잡아냅니다. 모양만 정해지면 마무리는 도구 #6(추측하고 확인하기)이 합니다 — 2002 와 가깝게 두기 위해 A는 2 로 유지하고, B 의 다음 값만 시험해 보면 됩니다.

1STEP 1

네 자리 회문은 반드시 ABBA 로 읽힙니다 — 천의 자리는 일의 자리와, 백의 자리는 십의 자리와 같습니다.

회문 연도 = ABBA

2STEP 2

2002 를 ABBA 에 맞추면 A = 2, B = 0 이고, 십의 자리 0 과 일의 자리 2 도 규칙과 일치합니다.

2002 = ABBA, A = 2, B = 0

3STEP 3

A 는 2 로 두고 B 를 0 에서 1 로 올리면 (A=3 은 3003 까지 튐) 2112 가 됩니다.

A = 2, B = 1 → ABBA = 2112

4STEP 4

2112 의 네 자리 숫자를 모두 곱합니다.

2 × 1 × 1 × 2 = 4 → (B)

정답

2112 가 정말 회문인지 확인합니다 — 뒤에서 읽어도 2112, 같은 수입니다. 또 2002 와 2112 사이에 다른 회문이 없는지 봅니다. 2 로 시작하는 회문은 모두 2BB2 꼴이고 B 가 0 과 1 사이에서 가질 수 있는 값은 정확히 그 둘뿐이므로 2002 와 2112 사이에 끼어드는 회문은 없습니다. 마지막으로 2 × 1 × 1 × 2 = 4 가 선택지 (B) 와 일치하고, 함정 0, 9, 16, 25 는 각각 2020, 2332, 2222, 2552 를 답으로 잘못 골랐을 때 나오는 값입니다 — 어느 것도 2002 다음 회문은 아닙니다.

💡핵심 정리

4 자리 회문은 언제나 ABBA 모양이라, 2002 다음 회문은 가운데 자리 숫자만 한 칸 올리면 나옵니다 — 그래서 2112, 그 자리 숫자를 곱하면 4.

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