AMC 8 · 2003 · #14

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

digit-constraintsplace-valuedigit-decompositionmulti-digit-arithmeticparity caseworksystematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmeticdigit-constraints

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문제

세로셈 TWO + TWO = FOUR 에서 각 문자는 서로 다른 0 - 9 자리 숫자를 나타냅니다. T = 7 이고 O 가 짝수일 때, W 의 유일한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

필산 퍼즐은 한 덩어리처럼 보이지만, 세로셈은 네 개의 작은 문제를 자동으로 나눠 줍니다 (도구 #7): 천의 자리, 백의 자리, 일의 자리, 십의 자리. 가장 많은 글자를 빠르게 묶을 수 있는 순서 — 천 → 백 → 일 → 십 — 으로 풀면 T, F, O, R 이 차례로 정해집니다. 마지막 십의 자리에서는 W 후보가 0, 1, 2, 3, 4 다섯 개로 줄어들고, 거기서 도구 #3(가능성 지우기) 이 "모든 글자는 서로 다른 숫자" 규칙으로 후보를 하나씩 지워 줍니다.

1STEP 1

천의 자리: 맨 앞 글자는 올림이고, 세 자리 수 두 배는 올림이 최대 하나뿐이라 F = 1.

F = 1

2STEP 2

백의 자리: 14 + c₂ = 10 + O 에서 O = 4 + c₂, O 가 짝수라는 조건이 O = 4 (올림 c₂ = 0) 를 고릅니다.

14 + c₂ = 10 + O → O = 4 + c₂. 따라서 O = 4 (c₂ = 0) 또는 O = 5 (c₂ = 1). O 가 짝수라는 조건이 O = 4, c₂ = 0 을 골라 줍니다.

3STEP 3

일의 자리: O = 4 라 O + O = 8, 10 미만이므로 R = 8 이고 십의 자리로 올림은 없습니다 (c₁ = 0).

4 + 4 = 8 ＜ 10 → R = 8, c₁ = 0.

4STEP 4

십의 자리: 두 올림 모두 0, W + W = U (2W 는 10 미만); U (6) 가 다른 글자와 안 겹치는 W = 3 만 남습니다.

W = 0 → U = 0 = W (겹침). W = 1 = F (사용 중). W = 2 → U = 4 = O (사용 중). W = 3 → U = 6, 처음 등장 — 통과. W = 4 = O (사용 중). 살아남는 후보는 W = 3 뿐이므로 답은 (D).

정답

전체 대응 T = 7, W = 3, O = 4, F = 1, U = 6, R = 8 을 원문제에 대입하면 734 + 734 = 1468 = FOUR 가 맞습니다. 여섯 글자가 여섯 가지 서로 다른 숫자 {1, 3, 4, 6, 7, 8} 을 쓰고, T = 7, O = 4 가 짝수라는 조건도 모두 만족합니다. 다른 선택지들은 "모두 다른 숫자" 규칙을 위반하거나 U ≥ 10 이 되므로 W = 3 이 유일한 답입니다.

💡핵심 정리

필산 퍼즐도 결국 세로셈입니다. 자리 하나씩 차근차근 풀면서 F, O, R 을 차례로 묶고 나면 십의 자리에서는 W 후보가 다섯 개뿐 — 모든 글자가 서로 다른 숫자가 되도록 만드는 건 W = 3 하나입니다.

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