AMC 8 · 2003 · #22

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-rectanglesarea-circlespythagorean-theoremspatial-visualization area-differenceidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

세 그림이 나란히 놓여 있고, 각각 2 cm 정사각형과 원으로 이루어져 있습니다. 그림 A는 2 × 2 정사각형에 반지름 1 인 원이 안에 꼭 맞게 들어가 있고, 그 원 부분만 잘라낸 모양. 그림 B는 같은 2 × 2 정사각형에 반지름

\frac{1}{2}

인 원 네 개를 잘라낸 모양. 그림 C는 반지름 1 인 원 안에 정사각형이 꼭 맞게 들어가 있고(정사각형의 대각선 = 원의 지름 2), 그 정사각형을 잘라낸 모양입니다. 음영 부분의 넓이가 가장 큰 그림은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

A only

(B)

B only

(C)

C only

(D)

both A and B

(E)

all are equal

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

세 그림이 이미 라벨이 붙어 있는 다이어그램이라, 도구 #1(그림 그리기)을 쓰면 각 음영 부분을 "바깥 도형 − 안쪽 도형" 으로 그대로 읽어낼 수 있어요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)는 "어느 게 가장 큰가?" 라는 한 문제를 "A의 음영 구하기 → B의 음영 구하기 → C의 음영 구하기" 의 세 개의 작은 뺄셈 문제로 쪼개 줍니다. 각 넓이를 a - bπ 또는 bπ - a 같은 정확한 형태로 두면, 마지막에 한 번만 π 의 근삿값을 써서 크기를 비교하면 끝납니다.

1STEP 1

그림 A: 정사각형 2² = 4 에서 원 π · 1² = π 를 빼면 4 - π.

넓이_A = 2² - π · 1² = 4 - π

2STEP 2

그림 B: 작은 원 넷 각 π · ( $\frac{1}{2}$ )² = $\frac{π}{4}$ , 합 4 · $\frac{π}{4}$ = π 를 빼면 B도 4 - π.

넓이_B = 2² - 4 · π (

\frac{1}{2}

)² = 4 - 4 ·

\frac{π}{4}

= 4 - π

3STEP 3

그림 C: 대각선 2 인 정사각형 넓이 $\frac{2²}{2}$ = 2, 원 π · 1² = π 에서 빼면 π - 2.

넓이_C = π · 1² -

\frac{2²}{2}

= π - 2

4STEP 4

π ≈ 3.14 로 비교: 4 - π ≈ 0.86 는 π - 2 ≈ 1.14 보다 작아 C 가 가장 큽니다.

4 - π ≈ 0.86 ＜ π - 2 ≈ 1.14 → (C)

정답

C only

그림으로 다시 확인. A와 B에서 잘라낸 흰 부분의 총 넓이는 둘 다 π 입니다(반지름 절반 원 네 개 = 반지름 1 원 하나). 그래서 남는 음영도 똑같이 4 - π — 선택지 (A), (B) 가 단독 우승할 수 없다는 것이 바로 보입니다. C에서 잘라낸 정사각형은 외접하는 2 × 2 정사각형의 절반밖에 안 되므로(넓이 2 대 4), 원의 내부 π ≈ 3.14 에서 2 만 빠지면 약 1.14 가 남아 A·B의 ≈ 0.86 보다 큽니다. 정확한 세 넓이 모두와 부합하는 답은 (C) 뿐.

💡핵심 정리

그림은 눈으로 비교하지 말고 "바깥 − 안쪽" 으로 식을 세워 보세요. A와 B는 둘 다 4 - π, C는 π - 2 만큼 남습니다. π - 2 가 4 - π 보다 크니까 정답은 그림 C.

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