AMC 8 · 2003 · #24

학년 8 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

graph-readingspatial-visualizationpattern-recognitionpythagorean-theorem identify-subproblemscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: graph-readingspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

배가 X 섬을 중심으로 하는 반원을 따라 A 에서 B 까지 간 뒤, B 에서 C 까지 직선으로 갑니다. 전체 여정 동안 X 로부터의 거리를 가장 잘 나타내는 그래프를 고르세요. 그림에서 X 는 반원의 중심이고 C 는 X 바로 위에서 반지름이 끝나는 점이므로 XB = XC, 각 BXC = 90° 입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Graph with an irregular/incorrect distance pattern

(B)

Horizontal segment at radius r, then a smooth symmetric curve dipping below r and returning to r

(C)

Horizontal segment at radius r, then a V-shape (two straight lines) dipping to a minimum and returning to r

(D)

Graph starting with a non-horizontal initial segment (incorrect first leg)

(E)

Graph starting with a non-horizontal initial segment (incorrect first leg)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

위치, 경로, 그래프가 등장하는 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 먼저 떠올라야 합니다. X 를 원점에 두면 "섬으로부터의 거리"가 곧 "원점으로부터의 거리"가 되어 측정할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 구간 A → B 와 B → C 를 따로 분석하라고 알려줍니다 — 두 구간이 따르는 규칙(원 vs. 직선)이 완전히 다르기 때문이죠. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 두 번째 구간에서 복잡한 식 대신 시작·중간·끝, 단 세 점만 확인하게 해주는데, 이것만으로도 그래프의 모양이 충분히 정해집니다.

1STEP 1

X 를 원점에 두면 B = (r, 0), C = (0, r) 이므로 'X 까지의 거리'는 '원점까지의 거리'와 같습니다.

X=(0,0), A=(-r,0), B=(r,0), C=(0,r)

2STEP 2

구간 1 (A → B): X 를 중심으로 하는 원 위의 모든 점은 X 에서 같은 거리이므로, 거리는 내내 r 로 일정합니다.

A → B 동안 X 까지의 거리 = r

3STEP 3

그래프에서 구간 1은 높이 r 의 수평 직선 — 시작이 수평이 아닌 선택지는 모두 탈락.

구간 1 그래프 조각: 높이 r 의 수평 직선

4STEP 4

구간 2 (B → C): 세 점만 봅니다 — 시작 B, 중점 M = ( $\frac{r}{2}$ , $\frac{r}{2}$ ), 끝 C. 이것이 '더 쉬운 문제'.

M = (

\frac{r}{2}

\frac{r}{2}

)

5STEP 5

피타고라스 정리로: 양 끝은 X 에서 r, 중점은 더 가까운 XM ≈ 0.71 r.

XB = r, XM = √((

\frac{r}{2}

)² + (

\frac{r}{2}

)²) =

\frac{r}{√(2)}

≈ 0.71 r, XC = r

6STEP 6

따라서 구간 2는 r 에서 약 0.71 r 로 내려갔다 돌아오는 부드러운 대칭 곡선 — 직선 V자가 아닙니다.

구간 2 그래프 조각: r →

\frac{r}{√(2)}

→ r 로 부드럽게 패인 U자 모양

7STEP 7

이어 붙이면: 높이 r 수평 구간 + r 로 돌아오는 부드러운 대칭 곡선. 이 모양의 선택지는 (B) 뿐.

답 = (B)

정답

Horizontal segment at radius r, then a smooth symmetric curve dipping below r and returning to r

여정의 처음과 끝, 그리고 반원 전체가 모두 반지름 r 인 점에 대한 답이어야 하고, 그래프 (B) 가 그 조건을 만족합니다. 구간 2 의 최소 거리

\frac{r}{√(2)}

≈ 0.71 r 는 r 보다 작지만 여전히 양수이므로 "부드럽게 패인 곡선"이 자연스럽습니다. 만약 (C) 의 V자라면 직선 위의 점에서 원점까지의 거리가 일정한 비율로 줄었다가 늘어난다는 뜻인데, 이는 사실이 아닙니다.

💡핵심 정리

어떤 점을 중심으로 원을 돌고 있을 때는 그 점까지의 거리가 변할 수 없고, 직선으로 가로지를 때는 거리가 항상 매끄러운 곡선으로 바뀝니다 — 절대 뾰족한 V자가 되지 않아요. 두 모양만 떠올리면 이 AMC 8 문제는 8학년 그래프 읽기로 풀립니다.

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