AMC 8 · 2016 · #7

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

perfect-squaresexponentsprime-factorizationparity systematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponentsperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다섯 수 1²⁰¹⁶, 2²⁰¹⁷, 3²⁰¹⁸, 4²⁰¹⁹, 5²⁰²⁰ 중에서 완전제곱수가 아닌 것은 단 하나입니다. 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1^{2016}$

(B)

$2^{2017}$

(C)

$3^{2018}$

(D)

$4^{2019}$

(E)

$5^{2020}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

선택지가 다섯 개이고 각각에 "완전제곱이냐" 만 따지면 되므로, 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. 판정 기준은 도구 #5(패턴 찾기) 로 얻습니다 — 2², 2³, 2⁴, 2⁵ 같은 작은 경우를 직접 확인해 보면 "소수 a 의 거듭제곱 aⁿ 이 완전제곱 ⇔ n 이 짝수" 라는 규칙이 보입니다 (a²k = (a^k)² 이기 때문). 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 이 규칙을 작은 지수에서 먼저 확인해 안심하고 2016–2020 에 적용하게 해 줍니다. 함정은 (D) — 밑 4 가 소수가 아니므로, 소수 밑으로 지수 규칙을 쓰기 전에 4 = 2² 으로 먼저 바꿔야 합니다.

1STEP 1

작은 경우로 규칙을 세웁니다 — 소수의 거듭제곱 pⁿ 은 n 이 짝수일 때만 완전제곱입니다 (2² 은 제곱, 2³ 은 아님).

pⁿ 이 완전제곱 ⇔ n 이 짝수 (p 는 소수)

2STEP 2

(A) 1²⁰¹⁶ = 1 = 1², 완전제곱이므로 (A) 지움.

1²⁰¹⁶ = 1 = 1² ✓

3STEP 3

(B) 밑 2 는 소수, 지수 2017 은 홀수라 2²⁰¹⁷ 은 완전제곱이 아님. 후보지만 나머지 셋도 확인.

2²⁰¹⁷: 2 소수, 2017 홀수 → 완전제곱 아님

4STEP 4

3²⁰¹⁸ = (3¹⁰⁰⁹)² ✓

5STEP 5

(D) 함정: 밑 4 = 2² 은 소수 아님 → 4²⁰¹⁹ = (2²)²⁰¹⁹ = 2⁴⁰³⁸, 4038 짝수라 (2²⁰¹⁹)². (D) 지움.

4²⁰¹⁹ = (2²)²⁰¹⁹ = 2⁴⁰³⁸ = (2²⁰¹⁹)² ✓

6STEP 6

(E) 밑 5 는 소수, 지수 2020 은 짝수라 5²⁰²⁰ = (5¹⁰¹⁰)², 완전제곱. 남는 것은 (B) 뿐.

5²⁰²⁰ = (5¹⁰¹⁰)² ✓ → 정답: (B)

정답

2²⁰¹⁷

소인수분해로 다시 확인합니다. (A) 1 은 모든 소수의 지수가 0 (짝수). (C) 3²⁰¹⁸ 은 소수 3 의 지수가 짝수 2018. (D) 4²⁰¹⁹ = 2⁴⁰³⁸ 은 소수 2 의 지수가 짝수 4038. (E) 5²⁰²⁰ 은 소수 5 의 지수가 짝수 2020. 네 개 모두 "모든 소수 지수가 짝수" 조건을 통과합니다. 오직 (B) 2²⁰¹⁷ 만 소수 2 의 지수가 홀수라 k² 꼴로 쓸 수 없습니다. 답 (B) 와 일치.

💡핵심 정리

소수의 거듭제곱은 지수가 홀수면 절대 완전제곱이 될 수 없습니다 — 이 8학년 지수 규칙 하나만으로 (A)–(E) 중 "튀는 하나" 를 골라낼 수 있어요!

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