AMC 8 · 2009 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

angle-sum-triangleisosceles-triangle caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

이등변삼각형의 두 각이 70° 와 x° 입니다. 어느 쪽이 밑각인지 꼭지각인지는 정해져 있지 않으므로, x 가 될 수 있는 값이 여러 개입니다. 가능한 x 값을 모두 찾아서 더하면 됩니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

125

(C)

140

(D)

165

(E)

180

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"가능한 세 값의 합" 이라는 표현 자체가 경우가 정확히 세 개라는 힌트라서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)에 잘 맞습니다. "세 각 중 같은 두 각이 어느 쌍인가?" 를 기준으로 경우를 나눕니다 — 70° 두 개가 같은 경우, x° 두 개가 같은 경우, 70° 와 x° 가 같은 경우. 도구 #1(그림 그리기)로 같은 변을 표시한 간단한 스케치를 함께 그리면 각 경우가 또렷해져서 중복 없이 셀 수 있습니다.

1STEP 1

이등변삼각형을 그립니다: 같은 밑각 둘과 꼭지각 하나. 주어진 각이 각각 어느 자리에 들어가는지 정합니다.

세 각 = {a, a, b}, a + a + b = 180°

2STEP 2

경우 1 — 같은 두 각이 모두 70° 이면 꼭지각 x 는 180° 의 나머지: x = 40.

70 + 70 + x = 180 → x = 180 - 140 = 40

3STEP 3

경우 2 — 같은 두 각이 모두 x° 이고 70° 가 꼭지각이면 2x + 70 = 180: x = 55.

x + x + 70 = 180 → 2x = 110 → x = 55

4STEP 4

경우 3 — 70° 와 x° 가 같은 두 각의 쌍이면 x = 70 (나머지 각은 40° 로 여전히 유효).

x = 70

5STEP 5

세 경우 모두 유효한 삼각형이므로 가능한 x 값 40, 55, 70 을 더하면 165 입니다.

40 + 55 + 70 = 165 → (D)

정답

165

세 후보 x = 40, 55, 70 모두 실제 삼각형을 만듭니다 — 경우 1과 3의 삼각형은 세 각 집합으로 보면 똑같이 (70, 70, 40) 이지만, x 가 가리키는 자리가 다르므로 x 의 값은 각각 40 과 70 으로 분명히 다릅니다. 모든 경우가 합 180° 와 "두 각이 같다" 를 만족하므로 세 후보 모두 유효합니다. 합 40 + 55 + 70 = 165 는 선택지 (D) 와 일치하고, 어떤 x 도 180° 가 될 수 없으므로 (E) 180 보다 작은 것도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

"가능한 값" 을 물으면 경우를 짧게 나열해 보세요 — 이 문제는 같은 두 각의 짝을 정하는 세 가지 경우뿐, 그 답들을 더하면 끝입니다.

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