AMC 8 · 2004 · #17

학년 4 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

combinations-basicset-partitionsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: systematic-enumerationcombinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

세 친구가 똑같은 연필 6 자루를 나누어 가지려고 합니다. 단, 각자 적어도 한 자루는 가져야 해요. 나누는 방법은 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

연필이 6 자루, 친구가 3 명뿐이라 "6 을 세 개의 양의 정수로 쪼개는 방법" 은 손으로 직접 나열할 수 있어요. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 주도구. 큰 수부터 차례로 적으면 빠뜨림 없이 모든 분할이 잡힙니다. 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기)는 그 부담을 더 줄여 줘요 — 처음부터 순서가 있는 모든 (x₁, x₂, x₃) 를 나열하지 말고, 먼저 순서 없는 분할만 찾은 다음 각 분할의 배치 수를 따로 세는 거예요. 이 작은 문제에 대수(도구 #13) 까지 갈 필요가 없어요.

1STEP 1

6 을 세 양의 정수로, 큰 수부터 적어 모든 분할을 찾아요: 4+1+1, 3+2+1, 2+2+2.

6 = 4+1+1 | 6 = 3+2+1 | 6 = 2+2+2

2STEP 2

친구는 서로 다르니 각 분할의 배치 수는 3, 6, 1 이에요 (4+1+1, 3+2+1, 2+2+2).

분할 & 같은 수 & 배치 수 ; 4+1+1 & 1이 두 개 & 3 ; 3+2+1 & 모두 다름 & 6 ; 2+2+2 & 모두 같음 & 1

3STEP 3

배치 수를 모두 더하면 3 + 6 + 1 = 10 가지, 답은 (D).

3 + 6 + 1 = 10 → (D)

정답

10 가지 순서쌍을 직접 적어 확인해 봅니다. (4,1,1) 에서: (4,1,1), (1,4,1), (1,1,4) — 3 가지. (3,2,1) 에서: (3,2,1), (3,1,2), (2,3,1), (2,1,3), (1,3,2), (1,2,3) — 6 가지. (2,2,2) 는 (2,2,2) 한 가지. 합 3 + 6 + 1 = 10 으로 (D) 와 일치합니다. 오답 점검: (A) 1 은 (2,2,2) 만 세고 친구가 서로 다르다는 사실을 놓친 답, (B) 3 은 (4,1,1) 만 센 답, (C) 6 은 (3,2,1) 만 센 답, (E) 12 는 (4,1,1) 을 6 가지로 잘못 세어 6+6=12 가 나온 답입니다.

💡핵심 정리

"몇 가지 방법인가" 문제는 먼저 순서를 무시한 분할을 적고, 그다음 각 분할의 자리 배치 수만 세어요 — 3 + 6 + 1 = 10 가지.

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