AMC 8 · 2004 · #2
학년 3 counting permutations-basicsystematic-enumerationdigit-constraintsplace-value systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: place-valuesystematic-enumeration
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
2004 의 네 자릿수 — 즉 2, 0, 0, 4 — 를 재배열해서 서로 다른 네 자리 수를 만든다면, 모두 몇 개를 만들 수 있을까요?
답을 골라 클릭하세요.
(A)
4
(B)
6
(C)
16
(D)
24
(E)
81
AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
재배열할 숫자가 네 개뿐이고, 맨 앞자리는 2 또는 4 만 가능합니다. 가능한 수의 개수가 매우 적으니 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 깔끔합니다. 순서 규칙을 정한 뒤 그 규칙대로 모두 적고 세면 끝 — 공식 없이 목록 자체가 증명이 됩니다.
1STEP 1
먼저 순서를 정합니다. 천의 자리는 2 또는 4 뿐(0 불가)이라, 2 로 시작하는 수를 먼저, 그다음 4 로 시작하는 수를 적습니다.
순서: 천의 자리 = 2 먼저, 다음 4
나열 전에 규칙을 정해두면 빠뜨리거나 중복하지 않습니다 — 도구 #2 의 핵심입니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List2STEP 2
맨 앞에 2 를 두면 남은 {0, 0, 4} 로 정확히 세 개, 2004, 2040, 2400 이 나옵니다.
2004, 2040, 2400
맨 앞자리를 고정하면 "두 개의 0 사이에 4 한 개를 어디에 둘 것인가" 라는 단순한 문제가 됩니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List3STEP 3
맨 앞에 4 를 두면 남은 {0, 0, 2} 로 세 개 더, 4002, 4020, 4200 이 나옵니다.
4002, 4020, 4200
구조는 앞 경우와 똑같고 천의 자리만 바뀐 형태입니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List4STEP 4
두 목록은 겹치지 않으니 더합니다: 3 + 3 = 6 개입니다.
3 + 3 = 6 → (B)
합의 법칙: 겹치지 않는 두 목록의 전체 개수는 각 개수의 합입니다.
1.OA.A.1Make A Systematic List정답
6
다른 방법으로 빠르게 확인해 봅시다. 네 개의 숫자는 4! = 24 가지로 정렬할 수 있지만, 0 두 개를 구별하지 않으므로 2! = 2 로 나누어 서로 다른 숫자 문자열은 12 개입니다. 그중 0 으로 시작하는 것은 천의 자리에 0 을 고정하고 남은 {0, 2, 4} 를 정렬한 3! = 6 가지입니다. 따라서 유효한 네 자리 수는 12 - 6 = 6 개로, 목록 결과인 답 (B) 와 일치합니다.
💡핵심 정리
답이 작은 수라면 그냥 규칙을 정해 모두 적으세요. 여기서는 맨 앞이 2 아니면 4 이고, 각 경우마다 3 개씩이라 총 6 개입니다.