경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2004 · #24
학년 8 geometry-2d
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AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
평행사변형은 기울어져 있어 직접 재기 까다롭습니다. 도구 #16(여집합 세기)은 질문을 뒤집습니다 — EFGH 를 재는 대신, 직사각형이 EFGH 를 만들기 위해 내어준 네 모서리 직각삼각형을 잰 뒤 직사각형 넓이에서 빼는 것이죠. 기울어진 길이를 측정하지 않고도 평행사변형의 넓이가 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계 — 넓이 구하기와 밑변 FG 구하기 — 로 나누고, 도구 #1(그림 그리기)로 각 모서리 삼각형의 두 다리 길이를 변 조각에서 그대로 읽어 옵니다. 넓이와 밑변을 손에 쥐면, 넓이 = 밑변 × 높이 한 줄로 d 가 나옵니다.
모서리 삼각형 읽기
잘려 나간 각 모서리는 표시된 변 조각을 두 다리로 갖는 직각삼각형 — A: 4,3, B: 6,5, C: 3,4, D: 6,5.
각 모서리는 직사각형의 90° 각이므로, 두 인접 변 위의 조각이 곧 두 다리 — 4학년 "도형에서 직각 찾기" 단원 그대로입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram모서리 넓이 더하기
네 모서리는 3-4 두 개와 5-6 두 개로 짝지어져, 넓이 합은 42 입니다.
합동인 직각삼각형 두 쌍이라 각 쌍에서 하나만 계산해 두 배 — 6학년 직각삼각형 넓이 지름길입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems직사각형에서 빼기
평행사변형은 모서리를 뺀 나머지이므로 넓이는 80 - 42 = 38 입니다.
"전체에서 쉬운 부분 빼기" — 기울어진 변을 하나도 재지 않고 평행사변형 넓이가 나옵니다.
내접한 평행사변형 EFGH의 넓이는 38이다 — 직사각형의 넓이 80에서 네 모서리 직각삼각형의 넓이 합 42를 뺀 값이다.
▸ 왜?
직사각형은 평행사변형과 네 모서리 삼각형으로 빈틈도 겹침도 없이 나뉘므로 이 조각들을 더하면 직사각형이 되고, 네 삼각형을 덜어내고 남는 것이 평행사변형이다.
▸ 왜?
직사각형은 가로 10, 세로 8이고, 10 곱하기 8 직사각형은 8개짜리 단위 정사각형 줄이 10개이므로 넓이가 80이다.
▸ 왜?
네 모서리 조각은 직사각형의 직각 모퉁이에 놓인 직각삼각형이라, 각각 넓이는 표시된 두 다리의 곱의 절반이다: 1/2(4)(3) + 1/2(6)(5) + 1/2(3)(4) + 1/2(6)(5) = 6 + 15 + 6 + 15 = 42.
▸ 왜?
그런 직각삼각형의 두 다리는 넓이가 다리 곱하기 다리 단위 정사각형인 직사각형을 이룬다.
▸ 왜?
삼각형의 긴 변은 그 직사각형의 대각선이고, 대각선은 직사각형을 반 바퀴 돌리면 서로 정확히 포개지는 두 삼각형으로 나누므로 각 삼각형은 직사각형의 절반이다.
밑변 FG 구하기
삼각형 CFG 는 3-4-5 직각삼각형이라, 밑변 FG 는 빗변 5 와 같습니다.
8학년 피타고라스 정리를 3-4-5 삼각형에 적용 — 정수 길이가 떨어져 가장 깔끔한 밑변이 됩니다.
8.G.B.7Identify Subproblems나누어 높이 구하기
두 넓이 식을 같다고 놓으면 FG × d = 38, 즉 5d = 38이고 d = 7.6 입니다.
같은 넓이를 두 가지 식으로 쓰고 등식으로 놓으면, 모르는 높이 d 는 나눗셈 한 줄에 떨어집니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement기울어진 평행사변형은 직접 재기 어렵지만, 직사각형이 내어준 네 모서리 삼각형은 쉽습니다 — 그 합 42를 직사각형 넓이 80 에서 빼면 넓이는 38, 다시 밑변 FG=5 (3-4-5 삼각형)로 나누면 d = 7.6으로 떨어집니다.
- 모서리 삼각형 읽기
- 모서리 넓이 더하기
- 직사각형에서 빼기
- 밑변 FG 구하기
- 나누어 높이 구하기
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