경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2011 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglespythagorean-theorem identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglesarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 에서 평행한 두 변은 AB = 50(윗변)과 CD(아랫변)이고, 빗변(다리)은 AD = 15, BC = 20, 두 평행변 사이의 높이는 12 입니다. 이 사다리꼴의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

600

(B)

650

(C)

700

(D)

750

(E)

800

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림은 이미 주어져 있지만, 핵심 동작 — A 와 B 에서 CD 로 수선을 내리는 것 — 은 직접 그려 넣어야 합니다. 이것이 도구 #1(그림 그리기)의 역할이에요: 보조선을 더해 구조가 드러나게 하는 거죠. 두 수선을 그리면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 작동합니다. 사다리꼴이 왼쪽 직각삼각형(다리 12와 a, 빗변 15), 가운데 직사각형(가로 AB = 50), 오른쪽 직각삼각형(다리 12와 b, 빗변 20)으로 쪼개지고, 각 조각은 따로 쉽게 풀립니다. 마지막에 CD = a + 50 + b 로 합치면 끝입니다. 대수(도구 #13)는 필요 없습니다.

1STEP 1

수선 두 개 내리기

A 와 B 에서 CD 로 수선을 내려 사다리꼴을 폭 50 인 직사각형 ABYX 와 직각삼각형 ADX·BCY 로 나눕니다.

AX = BY = 12; XY = AB = 50

2STEP 2

왼쪽 밑변 조각 구하기

직각삼각형 ADX(다리 12·a, 빗변 AD = 15)에 피타고라스 정리를 쓰면 가로 조각 a = 9 입니다.

a² + 12² = 15² → a² = 225 - 144 = 81 → a = 9

3STEP 3

오른쪽 밑변 조각 구하기

직각삼각형 BCY(다리 12·b, 빗변 BC = 20)에도 같은 방법을 쓰면 b = 16 입니다.

b² + 12² = 20² → b² = 400 - 144 = 256 → b = 16

4STEP 4

세 조각 더하기

가로 세 조각을 더해 아랫변을 복원합니다: CD = 9 + 50 + 16 = 75.

CD = 9 + 50 + 16 = 75

직사각형의 가로 + 두 삼각형의 다리로 아랫변을 다시 조립하는 것이 작은 문제로 쪼개기의 후반부입니다.

사다리꼴의 아랫변 CD의 길이는 75이다.

▸ 왜?

두 수선이 CD와 X, Y에서 만나 그것을 한 줄로 세 조각 — DX, 그다음 XY, 그다음 YC — 으로 자르므로 CD = DX + XY + YC = 9 + 50 + 16이다.

▸ 왜?

X와 Y는 선분 CD 위 D와 C 사이에 놓여 그것을 겹침도 빈틈도 없이 DX, XY, YC로 나누므로, 세 길이를 다시 더하면 전체 CD가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

가운데 조각 XY는 50인데, ABYX가 직사각형이고 마주 보는 변 AB와 XY의 길이가 같기 때문이다.

▸ 왜?

AX와 BY는 둘 다 길이 12인 수선으로 각각 AB와 CD에 수직이므로, 변 AB를 아래로 12만큼 곧게 밀면 정확히 XY 위에 포개진다 — 밀기는 모든 길이를 그대로 두므로 XY = AB = 50이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

왼쪽 조각 DX는 9인데, ADX가 두 변이 수선 AX = 12와 DX 자신이고 빗변이 기울어진 변 AD = 15인 직각삼각형이므로, 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같아 DX² + 12² = 15²이고, 따라서 DX² = 81, DX = 9이기 때문이다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

▸ 왜?

오른쪽 조각 YC는 16인데, BCY가 두 변이 수선 BY = 12와 YC 자신이고 빗변이 기울어진 변 BC = 20인 직각삼각형이므로, 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같아 YC² + 12² = 20²이고, 따라서 YC² = 256, YC = 16이기 때문이다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

4.G.A.2Identify Subproblems

5STEP 5

사다리꼴 넓이 공식 쓰기

밑변 50과 75, 높이 12를 사다리꼴 넓이 공식에 넣으면 넓이 = 750 입니다.

넓이 = 1/2(b₁ + b₂)h = 1/2(50 + 75)(12) = 6 × 125 = 750 → (D)

정답

750

세 조각의 넓이를 직접 더해서 확인합니다. 왼쪽 삼각형:

\frac{1}{2}

× 9 × 12 = 54. 가운데 직사각형: 50 × 12 = 600. 오른쪽 삼각형:

\frac{1}{2}

× 16 × 12 = 96. 합 = 54 + 600 + 96 = 750으로 공식의 결과 (D)와 일치합니다. 크기 감각으로도 사다리꼴 넓이는 50 × 12 = 600 보다 크고 75 × 12 = 900 보다 작아야 하는데, 750은 그 사이에 잘 들어옵니다.

💡핵심 정리

수선 두 개만 내리면 사다리꼴이 직사각형 + 직각삼각형 두 개로 바뀌고, 8학년 피타고라스 정리와 6학년 넓이 공식으로 마무리됩니다.

수선 두 개 내리기
왼쪽 밑변 조각 구하기
오른쪽 밑변 조각 구하기
세 조각 더하기
사다리꼴 넓이 공식 쓰기

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수선 두 개 내리기

왼쪽 밑변 조각 구하기

오른쪽 밑변 조각 구하기

세 조각 더하기

사다리꼴 넓이 공식 쓰기

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