AMC 8 · 2004 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Overlapping Translates

area-rectanglesarea-circlespythagorean-theoremspatial-visualizationreflection-symmetry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

두 개의 4 × 4 정사각형이 직각으로 만나며 서로의 만나는 변을 이등분하도록 놓여 있습니다. 두 정사각형의 경계가 교차하는 두 점을 잇는 선분을 지름으로 하는 원이 그려져 있습니다. 두 정사각형의 합집합에서 이 원을 제외한 어두운 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$16-4\pi$

(B)

$16-2\pi$

(C)

$28-4\pi$

(D)

$28-2\pi$

(E)

$32-2\pi$

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

어두운 영역은 여러 도형이 얽힌 합성 도형이라 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스럽게 들어맞습니다. 세 개의 작은 문제로 분리합시다 — (a) 두 정사각형 합집합의 넓이는 "두 정사각형 넓이의 합 - 겹친 부분"으로, (b) 원의 반지름은 겹친 정사각형의 기하에서, (c) 원의 넓이는 공식 한 줄로 얻습니다. 도구 #1(그림 그리기)이 결정적 — 겹친 부분이 2 × 2 정사각형이라는 사실과 그 대각선이 원의 지름이라는 사실은 그림에 표시하는 순간 또렷이 보입니다.

1STEP 1

변을 이등분하므로 공통으로 덮는 부분은 한 변이 2 인 정사각형, 넓이는 4.

겹친 부분 한 변 =

\frac{4}{2}

= 2, 겹친 부분 넓이 = 2 × 2 = 4

2STEP 2

포함-배제로 두 정사각형 합집합의 넓이는 4² + 4² - 2² = 28.

합집합 넓이 = 4² + 4² - 2² = 16 + 16 - 4 = 28

3STEP 3

지름은 겹친 정사각형의 대각선 2√(2), 그 절반인 반지름 √(2).

d = √(2² + 2²) = √(8) = 2√(2), r =

\frac{d}{2}

= √(2)

4STEP 4

원의 넓이 = π r² = π(√(2))² = 2π.

원의 넓이 = π r² = π (√(2))² = 2π

5STEP 5

어두운 영역 = 합집합 - 원 = 28 - 2π, 정답 (D).

어두운 영역 = 28 - 2π → (D)

정답

28-2π

크기를 확인해 봅시다. 정사각형 하나가 16 이므로 두 정사각형의 합집합 넓이는 16 (완전히 겹칠 때) 에서 32 (전혀 겹치지 않을 때) 사이에 있어야 하고, 28 은 그 범위 안에 자연스럽게 들어갑니다. 원의 넓이 2π ≈ 6.28 을 빼도 약 21.7 이 남아 양수, 그림과 부합. 오답 제거: (A) 16 - 4π 와 (B) 16 - 2π 는 정사각형 하나만 센 형태. (C) 28 - 4π 라면 반지름이 2 여야 하는데 그것은 겹친 부분의 한 변이지 반대각선의 절반이 아닙니다. (E) 32 - 2π 는 겹친 부분을 한 번도 빼지 않은 형태. 답은 (D) 만 일관됩니다.

💡핵심 정리

복잡한 그림은 작은 조각으로 — 십자 모양은 두 4 × 4 정사각형에서 2 × 2 겹친 부분을 한 번 뺀 28, 원의 반지름은 그 겹친 정사각형 대각선의 절반인 √(2), 원의 넓이 2π 를 마지막에 빼면 28 - 2π.

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