AMC 8 · 2004 · #5

학년 3 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

logical-deductionpattern-recognitioncomplementary-counting identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

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문제

16 개 팀이 싱글 엘리미네이션 토너먼트를 합니다. 한 경기에서 진 팀은 바로 탈락하고, 우승팀 하나만 남으면 대회가 끝납니다. 총 몇 경기가 치러질까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 가장 깔끔한 길입니다. 대회 내내 "한 경기당 탈락 팀은 정확히 하나"라는 규칙은 절대 바뀌지 않아요 — 바로 이 일대일 대응이 불변량입니다. 우승팀을 제외한 모든 팀이 탈락해야 하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같고, 그 값은 16 - 1 = 15. 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기)는 먼저 4 팀처럼 작은 경우를 시도해 "경기 수 = 팀 수 - 1" 규칙을 확인한 뒤 16 팀에 적용하게 해 줍니다.

1STEP 1

작게 확인: 4 팀은 2 + 1 = 3 경기이고, 3 = 4 - 1.

4 팀 → 2 + 1 = 3 경기 = 4 - 1

2STEP 2

경기마다 정확히 한 팀이 탈락하니, 경기 수 = 탈락 팀 수.

지금까지 치른 경기 수 = 지금까지 탈락한 팀 수

3STEP 3

우승팀만 빼고 모두 지므로, 탈락 팀 = 16 - 1 = 15.

탈락한 팀 수 = 16 - 1 = 15

4STEP 4

불변량에 따라 총 경기 수 = 탈락 팀 수 = 15 → (D).

총 경기 수 = 탈락한 팀 수 = 15 → (D)

정답

라운드별로 더해 확인해 봅시다. 16 팀이면 1라운드 16 ÷ 2 = 8 경기, 2라운드 8 ÷ 2 = 4 경기, 3라운드(준결승) 4 ÷ 2 = 2 경기, 4라운드(결승) 1 경기. 합계 8 + 4 + 2 + 1 = 15 경기로 (D)와 일치합니다. 작은 선택지 (A) 4, (B) 7, (C) 8 은 일부 라운드만 센 값(예: 8 은 1라운드뿐)이라 부족하고, (E) 16 은 우승팀까지 한 번 졌다는 뜻이라 "우승팀은 안 진다"는 조건에 어긋납니다.

💡핵심 정리

싱글 엘리미네이션 토너먼트에서는 경기마다 정확히 한 팀이 탈락해요. 그래서 경기 수는 탈락한 팀 수 — 즉 우승팀을 뺀 모든 팀의 수와 같습니다. 16 팀이면 16 - 1 = 15 경기, 대진표를 그리지 않아도 끝!

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