경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2005 · #13
학년 3 geometry-2d
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AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. L자 모양을 그리고 변 길이를 적은 뒤, AF 를 아래로, DC 를 위로 연장해 새 꼭짓점 O 에서 만나게 합니다. 그러면 L 모양은 큰 직사각형 ABCO 의 한 모서리에서 가로 EF, 세로 DE 인 작은 직사각형을 잘라낸 모양이 됩니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 문제를 두 단계로 쪼개세요. (a) 직각 구조에서 세로 변의 합을 이용해 DE 를 구하기, (b) "큰 직사각형 − 잘라낸 직사각형 = 52" 식으로 EF 를 구하기. 도구 #13(대수로 바꾸기) 대신 #1 + #7로 가면 한 번의 뺄셈과 한 번의 짧은 방정식만 풀면 됩니다. 연립방정식이 필요 없습니다.
직사각형 완성하기
FA 를 아래로, DC 를 위로 연장해 꼭짓점 O 를 만들면 직사각형 ABCO — L 은 여기서 작은 직사각형 FEDO 를 뺀 모양입니다.
L 모양을 직사각형으로 채우면, 익숙하지 않은 6각형이 두 직사각형의 차이가 됩니다. 직사각형 넓이는 가로 × 세로 한 번이면 끝나죠.
3.G.A.1Draw A Diagram세로 변으로 DE 구하기
왼쪽에서 FA 와 DE 가 합쳐져 오른쪽 전체 높이 BC 와 같아야 하므로, FA + DE = BC 에서 DE = 4.
축에 평행한 도형에서 왼쪽 세로 변들의 합은 오른쪽 세로 변의 합과 같습니다. 같은 두 가로선 사이를 잇는 두 경로의 세로 길이가 같다는 뜻일 뿐이에요.
3.MD.D.8Identify Subproblems넓이로 EF 구하기
넓이는 큰 직사각형에서 가로 EF, 세로 DE = 4 인 부분을 뺀 값이므로, 72 − 4 × EF = 52 에서 EF = 5.
"큰 직사각형 − 작은 직사각형" 은 어떤 L자 넓이라도 가장 깔끔하게 다루는 방법입니다.
L자 도형의 넓이는 큰 직사각형 ABCO의 넓이에서 잘려 나간 작은 직사각형 FEDO의 넓이를 뺀 것과 같고, 바로 이것이 EF를 결정한다.
▸ 왜?
큰 직사각형 ABCO는 L자 도형과 잘려 나간 작은 직사각형 FEDO를 빈틈도 겹침도 없이 합쳐 놓은 것이라서, 큰 넓이는 이 두 넓이를 더한 값이다.
▸ 왜?
FA와 DC를 새 꼭짓점 O까지 늘리면 빠져 있던 조각이 채워져, L자와 그 조각이 큰 직사각형 전체를 남김도 중복도 없이 덮는다.
▸ 왜?
큰 직사각형 = L자 + 잘린 조각이므로, 큰 넓이에서 잘린 조각의 넓이를 도로 빼면 정확히 L자의 넓이만 남는다 — 뺄셈 한 번으로 원하는 부분을 골라낸다.
▸ 왜?
직사각형의 넓이는 각각 가로 곱하기 세로라서, 큰 것은 8 × 9, 잘린 조각은 EF × DE가 된다.
▸ 왜?
직사각형은 단위 정사각형의 같은 줄들로 채워진다 — 세로 한 칸마다 한 줄, 각 줄에는 가로만큼의 정사각형이 들어간다 — 그래서 정사각형의 개수를 세는 것은 가로 곱하기 세로다.
두 길이 더하기
두 작은 문제의 답을 더해 구하는 합을 얻습니다: DE + EF = 4 + 5.
작은 문제 두 개의 답을 합치는 마무리 단계입니다.
3.OA.D.8Identify SubproblemsL자 모양을 큰 직사각형으로 채우면 빠진 부분은 더 작은 직사각형. "큰 직사각형 − 잘라낸 직사각형 = 52" 가 EF 를, "왼쪽 세로 변의 합 = 오른쪽 세로 변" 이 DE 를 알려 줍니다. 3학년 넓이 계산만으로 풀려요.
- 직사각형 완성하기
- 세로 변으로 DE 구하기
- 넓이로 EF 구하기
- 두 길이 더하기
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