경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2018 · #9

학년 3 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border
area-rectanglesperimeterspatial-visualization area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
모니카는 가로 16 피트, 세로 12 피트인 직사각형 거실 바닥에 타일을 깔려고 합니다. 네 변을 따라서는 1 피트 × 1 피트짜리 정사각형 작은 타일로 한 줄짜리 테두리를 만들고, 그 안쪽은 2 피트 × 2 피트짜리 큰 정사각형 타일로 채웁니다. 사용한 타일의 총 개수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
48
(B)
87
(C)
89
(D)
96
(E)
120

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이 바닥은 "테두리의 작은 타일 영역" 과 "안쪽의 큰 타일 영역" 이라는 두 부분으로 자연스럽게 나뉩니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 영역의 타일 수를 따로 구한 뒤 더하는 방법이 가장 깔끔합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이 분할을 눈으로 보이게 해 줍니다 — 16 × 12 직사각형을 그리고 한 칸짜리 테두리를 칠한 뒤 안쪽 직사각형이 14 × 10 임을 표시하면, 가로·세로가 모두 짝수라서 2 × 2 타일이 딱 맞게 들어간다는 사실까지 한눈에 보입니다.

1STEP 1

안쪽 영역 표시하기

방을 그려 한 칸짜리 테두리를 두르면, 각 변이 1 피트씩 줄어 안쪽은 14 × 10 피트가 됩니다.

안쪽 가로 = 16 - 2 = 14 피트, 안쪽 세로 = 12 - 2 = 10 피트
2STEP 2

테두리 타일 세기

작은 문제 (가): 테두리 넓이 = 전체 - 안쪽, 작은 타일 한 장이 1 제곱피트이므로 그 넓이만큼인 52개입니다.

A_테두리 = 16 × 12 - 14 × 10 = 192 - 140 = 52 제곱피트 → 52 개
3STEP 3

안쪽 타일 세기

작은 문제 (나): 안쪽 넓이 140을 큰 타일 한 장의 4 제곱피트로 나누면 35장입니다 (확인: 7 × 5).

(140 제곱피트)/(4 제곱피트/장) = 35 장 그리고 7 × 5 = 35 장 ✓
4STEP 4

두 타일 수 더하기

두 작은 문제를 합칩니다 — 테두리 52개와 안쪽 35개를 더하면 총 87개입니다.

52 + 35 = 87 → (B)
정답
87
수치의 크기를 가늠해 봅시다 — 전체 바닥 넓이는 192 제곱피트입니다. 모두 작은 1 × 1 타일이라면 192 장이 필요하니 선택지 (E) 120 보다도 많고, 모두 큰 2 × 2 타일이라면 192 ÷ 4 = 48 장이라 선택지 (A)가 됩니다. 우리 답 87은 48과 192 사이에 적절히 놓여 있고, 테두리(52) + 안쪽(35)로 깔끔하게 쪼개지는 것은 선택지 (B) 뿐입니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 넓이 = 가로 × 세로 와 두 단계 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

  • 안쪽 영역 표시하기
  • 테두리 타일 세기
  • 안쪽 타일 세기
  • 두 타일 수 더하기

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