AMC 8 · 2005 · #16

학년 4 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

optimization-countingsystematic-enumerationmulti-digit-arithmetic optimization-countingcasework ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

화성인의 서랍에는 빨강, 흰색, 파랑 양말이 들어 있고 색깔마다 적어도 5 짝씩 있습니다. 보지 않고 한 번에 한 짝씩 꺼낼 때, 같은 색 양말 5 짝을 반드시 갖게 되려면 최소 몇 짝을 꺼내야 할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

"반드시" 라는 말이 도구 #14(극단의 원리)의 신호입니다. 답은 운 좋게 빨리 모이는 경우가 아니라, 가장 운 나쁜 순서가 강요하는 값이에요. 가장 운 나쁜 경우는 한 색깔이 5 에 닿는 순간을 최대한 미루는 것 — 세 색깔에 가능한 한 고르게 펼쳐 꺼내는 거죠. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 작은 버전(예: 2 색에서 3 짝)으로 감을 잡고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 색깔별 최악의 누적을 적어 두면 셈 실수가 없습니다.

1STEP 1

몸풀기: 2 색에서 3 짝 모으기. 최악은 색마다 2 짝, 그다음 한 짝이 셋째를 강제 — 규칙은 (목표−1)×(색깔 수)+1.

쉬운 경우: (3-1) × 2 + 1 = 5 짝

2STEP 2

이제 진짜 문제: 3 색, 목표 5. 최악은 어떤 색도 5 가 되기 전 색마다 4 짝 — 빨강 4, 흰색 4, 파랑 4 = 12.

최악 누적: 빨강 4, 흰색 4, 파랑 4 → 4 + 4 + 4 = 12 짝

3STEP 3

극단의 원리: 12 짝(각 4) 뒤 한 짝 더 뽑으면 빨강·흰색·파랑 중 하나라 그 색이 5 로 오름 — 13이면 보장, 12 는 안 됨.

12 + 1 = 13 → (D)

4STEP 4

더 작은 값은 안 됨 확인: 12 짝만 뽑으면 4+4+4 분배가 가능해 어느 색도 5 가 아님 — 12 는 보장이 못 됨.

12 = 4+4+4 → 어떤 색도 5 아님 → 12 는 보장 X

정답

공식 (목표 - 1) × (색깔 수) + 1 = (5-1) × 3 + 1 = 4 × 3 + 1 = 13 에 그대로 대입하면 (D) 가 나옵니다. 인접 선택지도 점검: (C) 12 는 정확히 "최악 (4,4,4)" 에 막혀 한 짝 모자라고, (E) 15 는 이미 13 짝에서 보장이 끝나므로 과합니다. 문제의 "다섯 다리" 와 "각 색 5 짝 이상" 조건은 도중에 서랍이 비지 않게 해 줄 뿐이고, 13 짝 안에 그런 일은 결코 일어나지 않습니다.

💡핵심 정리

"반드시" 문제는 가장 운 나쁜 경우로 풉니다. 가능한 한 고르게 펼친 다음, 한 짝만 더 — 그 한 짝이 보장값을 만듭니다.

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