AMC 8 · 2005 · #18

학년 4 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

multiplesdivisibility-rulesinterval-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

100 부터 999 까지의 세 자리 수 중에서 13 으로 나누어떨어지는 수가 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 바꾸기

세 자리 배수 (104, 117, 130, …) 를 직접 세는 건 번거롭습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기) 로 문제를 훨씬 간단한 형태로 바꿔 봅시다. 세 자리 배수는 모두 13k 모양이므로, 결국 "100 ≤ 13k ≤ 999 를 만족하는 정수 k 가 몇 개인가?" 라는 일반 정수 세기 문제로 바뀝니다. 두 끝점 k 를 찾는 데는 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 딱 맞습니다 — $\frac{100}{13}$ 과 $\frac{999}{13}$ 근처 값을 몇 개 넣어 보고 13k 가 세 자리 범위에 처음 들어오는 / 마지막으로 머무는 k 를 확인하면 됩니다. 끝점이 정해지면 개수는 (끝 - 시작) + 1 한 줄로 끝납니다.

1STEP 1

13 의 배수인 세 자리 수는 모두 13k 이므로, 100 ≤ 13k ≤ 999 인 정수 k 의 개수를 셉니다.

100 ≤ 13k ≤ 999, k ∈ {1, 2, 3, …}

2STEP 2

k = 8 이면 13 × 8 = 104 로 첫 세 자리 배수, 그래서 가장 작은 k 는 8.

13 × 7 = 91 ＜ 100, 13 × 8 = 104 ≥ 100 → k_min = 8

3STEP 3

13 × 76 = 988 은 통과, 13 × 77 = 1001 은 네 자리라 초과 — 가장 큰 k 는 76.

13 × 77 = 1001 ＞ 999, 13 × 76 = 988 ≤ 999 → k_max = 76

4STEP 4

유효한 k 는 8, 9, …, 76 이므로 개수는 (76 - 8) + 1 = 69.

(76 - 8) + 1 = 68 + 1 = 69 → (C)

정답

어림 계산으로도 확인됩니다. 세 자리 수는 100 부터 999 까지 총 900 개이고, 그중 약

\frac{1}{13}

이 13 의 배수이므로

\frac{900}{13}

≈ 69.2. 정확한 개수 69 와 잘 맞습니다. 오답들은 함정입니다 — (A) 7 은 너무 작은 k 중 가장 큰 값이고 (D) 76 은 가장 큰 유효한 k 이지 개수가 아닙니다. (B) 67 과 (E) 77 은 (끝 - 시작) + 1 단계에서 한두 개 잘못 센 결과예요. (C) 69 만 맞습니다.

💡핵심 정리

세 자리 배수를 세는 대신 그 배수를 만드는 k 를 세세요. 가장 작은 k 는 8 (13 × 8 = 104), 가장 큰 k 는 76 (13 × 76 = 988), 그래서 8 부터 76 까지의 정수는 (76 - 8) + 1 = 69 개입니다.

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