AMC 8 · 2005 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremperimeterarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremperimeter

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 의 왼쪽 빗변 AB = 30, 윗변 BC = 50, 오른쪽 빗변 CD = 25, 그리고 B 에서 아랫변 AD 로 내린 높이가 24 입니다. 사다리꼴 ABCD 의 둘레를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

180

(B)

188

(C)

196

(D)

200

(E)

204

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

네 변 중 세 변은 주어졌고, 빠진 건 아랫변 AD 뿐입니다. 도구 #1(그림 그리기)의 핵심은 "적절한 보조선을 그어 도형이 스스로 답을 보여주게 하는 것". B 와 C 에서 AD 로 수선을 내리면 사다리꼴이 가운데 직사각형 하나와 양옆 직각삼각형 두 개로 갈라집니다. 가운데 직사각형의 가로는 윗변 BC = 50 과 같고, 양옆 두 삼각형은 한 변이 높이 24, 빗변이 각각 30, 25 인 직각삼각형이에요. 피타고라스 정리로 두 발 길이를 구하면 끝 — 그것도 유명한 3-4-5, 7-24-25 세트라서 계산이 거의 즉시 됩니다.

1STEP 1

B, C 에서 AD 로 수선을 내리면 직각삼각형 둘과 직사각형 BCFE 로 갈라지고, EF = BC = 50.

AD = AE + EF + FD, BE = CF = 24, EF = BC = 50

2STEP 2

직각삼각형 ABE 는 빗변 AB = 30, 다리 BE = 24 이므로 피타고라스로 AE = 18 (3-4-5 의 6 배).

AE = √(30² - 24²) = √(324) = 18

3STEP 3

직각삼각형 CFD 는 빗변 CD = 25, 다리 CF = 24 이므로 피타고라스로 FD = 7 — 7-24-25 세트.

FD = √(25² - 24²) = √(49) = 7

4STEP 4

AD = 18 + 50 + 7 = 75, 둘레 = 30 + 50 + 25 + 75 = 180 → (A).

AD = 18 + 50 + 7 = 75; 둘레 = AB + BC + CD + DA = 30 + 50 + 25 + 75 = 180 → (A)

정답

180

빠르게 점검해 봅시다. 그림에서 빗변 두 개가 바깥쪽으로 벌어져 있으므로 아랫변 AD = 75 가 윗변 BC = 50 보다 길어야 하는데, 실제로 75 ＞ 50 입니다. 양옆으로 튀어나온 두 발의 합은 18 + 7 = 25 이고 이는 75 - 50 과 정확히 같으니, 식과 그림이 서로 어긋나지 않습니다. 두 직각삼각형 모두 표준 피타고라스 세트(3-4-5 의 6 배, 그리고 7-24-25)라서 무리수가 한 번도 등장하지 않는데, 이는 AMC 8 의 정답 모양과 잘 어울려요. 마지막으로 30 + 50 + 25 + 75 = 180 으로 (A) 가 맞고, 다음 후보 (B) 188 은 AD = 83 을 요구해 두 피타고라스 결과 모두와 어긋납니다.

💡핵심 정리

수선 두 개만 그으면 사다리꼴이 직사각형 하나와 직각삼각형 두 개로 갈라져요. 3-4-5 와 7-24-25 세트가 빠진 아랫변을 곧장 알려 주고, 둘레는 네 변의 합으로 마무리됩니다.

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