경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2005 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesarea-trianglesisosceles-trianglereflection-symmetry identify-subproblemsreflection-unfolding ↑ 선수 지식: area-circlesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

직각이 C 에 있는 이등변 직각삼각형 ABC 안에 넓이가 2π 인 반원이 들어 있어요. 반원의 중심 O 는 빗변 AB 위에 있고, 반원은 두 다리 AC 와 BC 에 접합니다. △ ABC 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$3\pi$

(D)

(E)

$4\pi$

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림에는 이미 삼각형과 반원이 있어요. 빠진 한 가지는 중심 O 에서 AC, BC 위 접점까지 그은 두 반지름입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이 두 반지름을 더 그리는 것 — 각각 다리에 수직이라, C 의 직각과 합쳐져 삼각형 안에 작은 정사각형이 만들어집니다. 그 정사각형이 보이면, 넓이 2π 로 구한 반지름과 A 모퉁이의 45-45-90 삼각형으로 다리 길이가 나옵니다. 도구 #13(대칭 이용하기)은 또 다른 시각: 삼각형을 빗변 AB에 대해 대칭시키면 반원이 정사각형 안에 내접한 원이 됩니다. 삼각형은 그 정사각형의 절반이므로, 넓이도 정사각형의 절반.

1STEP 1

반지름 구하기

반원 넓이 공식 $\frac{1}{2}$ π r² = 2π 를 풀면 r² = 4, 반지름은 r = 2 입니다.

1/2π r² = 2π → π r² = 4π → r² = 4 → r = 2

2STEP 2

반지름 두 개 그리기

접점 D, E 까지 반지름 둘을 그으면 직각 셋과 OD = OE 로 ODCE 는 정사각형, 따라서 CD = CE = 2.

OD = OE = 2, ∠ ODC = ∠ OEC = ∠ DCE = 90° → ODCE 는 정사각형; CD = CE = 2

접점에 반지름을 그어 "접선 ⊥ 반지름" 을 쓰는 것은 7학년의 표준 동작. 사각형 안 직각 세 개가 네 번째 직각을 강제하고, 두 변이 같으니 직사각형이 정사각형으로 올라갑니다.

반원이 각 변에 닿는 점은 직각 꼭짓점 C로부터 정확히 반지름 하나만큼 떨어져 있다.

▸ 왜?

중심 O, 꼭짓점 C, 두 접점 D와 E는 네 각이 모두 직각이고 두 변의 길이가 같은 사각형 ODCE를 이루므로, 이것은 한 변이 반지름인 정사각형이다. 그래서 CD와 CE는 각각 반지름 하나만큼의 길이가 된다.

▸ 왜?

각 변은 접점에서 반원에 살짝 스치기만 하므로 그 지점에서 변은 접선 역할을 한다. 접점까지 그은 반지름은 이 접선과 직각으로 만나므로 D와 E에서의 각은 직각이다.

접선은 반지름에 수직원에 접하는 직선은 접점까지의 반지름과 직각으로 만난다.

▸ 왜?

OD와 OE는 같은 반원의 반지름이라 길이가 같고, 이 덕분에 직각으로 이루어진 도형이 직사각형에서 정사각형으로 올라간다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

C에서의 각은 삼각형 자신의 직각이고, D와 E에서의 두 직각과 합하면 직각이 셋이다. 평평한 사각형의 네 각은 360°가 되므로 남은 네 번째 각도 직각이다.

▸ 왜?

한 꼭짓점에서 마주 보는 꼭짓점으로 대각선을 그으면 사각형은 두 삼각형으로 나뉘고, 사각형의 네 각은 더하거나 빠뜨린 것 없이 그 두 삼각형의 각들을 다시 묶은 것이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

그 두 삼각형은 각각 세 각의 합이 180°이므로, 두 삼각형을 합치면 360°가 된다.

삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.

7.G.B.5Draw A Diagram

3STEP 3

45도 각 이용하기

A 모퉁이에서 90° 와 45° 로 △ ADO 는 45-45-90 삼각형이 되어 두 다리가 같으니 AD = 2.

∠ ODA = 90°, ∠ DAO = 45° → △ ADO 는 45-45-90 → AD = OD = 2

4STEP 4

삼각형 넓이 구하기

각 다리는 AD + DC = 4, 이등변 직각삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}$ · 4 · 4 = 8.

AC = 2 + 2 = 4 = BC; [△ ABC] = 1/2 · AC · BC = 1/2 · 4 · 4 = 8 → (B)

정답

크기를 점검해 봅시다. 반원의 넓이는 2π ≈ 6.28이고 삼각형 안에 들어가 있으므로, 삼각형의 넓이는 6.28 보다 커야 합니다. 이걸로 (A) 6은 제외. (B) 8은 6.28 보다 살짝 큰 값이라 그림과 잘 맞아요 — 반원이 삼각형의 거의 다 채우고 A, B 근처에 작은 모퉁이만 남기죠. (D) 10과 (E) 4π ≈ 12.57은 빈 공간이 너무 많고, (C) 3π ≈ 9.42는 반원의 넓이가 사라진 뒤에 π 가 다시 등장할 이유가 없어요. 직접 확인: 다리 4 일 때 다리 위 접점까지의 거리는 AD = 2, 반지름 OD = 2, 직각삼각형 넓이는

\frac{1}{2}

· 4 · 4 = 8 — 답 (B)와 정확히 일치합니다.

💡핵심 정리

원이 직선에 접해 있을 때 첫 동작은 거의 항상 접점까지 반지름을 그어보는 거예요. 여기서는 반지름 둘이 삼각형 안에 정사각형을 만들고, 45-45-90 모퉁이가 다리의 나머지 길이를 채워 — 다리 4, 넓이 8이 나옵니다.

반지름 구하기
반지름 두 개 그리기
45도 각 이용하기
삼각형 넓이 구하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

반지름 구하기

반지름 두 개 그리기

45도 각 이용하기

삼각형 넓이 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기