경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2017 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-trianglesarea-circlesreflection-symmetryangle-sum-triangle area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-circles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

도형의 경계는 두 선분 US, UT (둘 다 길이 2 이고 U 에서 ∠ TUS = 60° 로 만남)와 두 호 SR, TR (각각 반지름 2 인 원의 60° 짜리 호)로 이루어져 있습니다. 두 호는 영역 안쪽으로 오목하게 휘어 있고, 아래쪽 점 R 에서 만납니다. 이 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\sqrt{3}-\pi$

(B)

$4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}$

(C)

$2\sqrt{3}$

(D)

$4\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$

(E)

$4+\frac{4\pi}{3}$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

직선과 곡선이 섞여 있는 도형이라 하나의 넓이 공식으로는 끝나지 않습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 영역을 익숙한 조각으로 나눕니다 — 먼저 두 호를 각각의 현으로 바꿔 만든 직선 도형(정삼각형 두 개로 이루어진 마름모꼴 연꼴)의 넓이를 구하고, 그 다음 현과 호 사이에 "가려져 있던" 두 활꼴을 빼면 됩니다. 활꼴 자체도 작은 문제: 60° 부채꼴에서 60° 정삼각형을 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 — 주어진 그림 위에 현 SR, TR을 덧그리면 연꼴과 두 활꼴이 한눈에 보이고, 반지름 2, 중심각 60° 원의 현이라 두 현의 길이가 곧 2 라는 것도 드러납니다.

1STEP 1

두 현 그리기

현 SR, TR 은 반지름 2·중심각 60° 원의 현이라 정삼각형을 이뤄 SR = TR = 2, 네 변 2 인 연꼴 USRT 가 됩니다.

US = UT = SR = TR = 2

2STEP 2

연꼴 둘로 나누기

대각선 ST 로 연꼴을 한 변 2 인 정삼각형 두 개로 가르면 각 넓이 √(3), 연꼴 넓이는 2√(3) 입니다.

연꼴 넓이 = 2 · 2²√(3)/4 = 2√(3)

3STEP 3

활꼴 하나 넓이 구하기

활꼴 하나는 반지름 2 원의 60° 부채꼴 넓이 $\frac{2\pi}{3}$ 에서 정삼각형 넓이 √(3)을 뺀 $\frac{2\pi}{3}$ - √(3) 입니다.

활꼴 넓이 = 2π/3 - √(3)

4STEP 4

활꼴 두 개 빼기

호가 오목하므로 연꼴에서 두 활꼴을 빼면 2√(3) - 2( $\frac{2\pi}{3}$ - √(3)) = 4√(3) - $\frac{4\pi}{3}$ , 정답 (B).

넓이 = 2√(3) - 2 (2π/3 - √(3)) = 2√(3) - 4π/3 + 2√(3) = 4√(3) - 4π/3 → (B)

정답

4√(3)-4π/3

수치로 확인하면 4√(3) ≈ 6.93,

\frac{4\pi}{3}

≈ 4.19 이므로 넓이 ≈ 6.93 - 4.19 ≈ 2.74. 연꼴만의 넓이 2√(3) ≈ 3.46 에서 두 오목한 부분이 합쳐서 약 0.7 조금 더 깎아 낸다는 직관과 정확히 맞습니다. 답이 양수 (좋음), 연꼴보다 작음 (호가 안쪽으로 파고드니 당연), 0 보다 큼 (호가 영역을 완전히 먹어 치우지는 않음) — 모두 통과. 선택지 (C) 2√(3)은 π 항이 사라져 있어 오답 (원이 분명히 끼어 있는데 π 가 없을 수 없음), (E)는 연꼴보다도 큰데 호가 깎아 내는 도형이라 불가능, (A), (D)는 활꼴 항의 계수가 어긋남.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 √(3), π 같은 무리수 다루기와, 이미 알고 있는 원·삼각형 넓이 공식만 있으면 풀 수 있어요!

두 현 그리기
연꼴 둘로 나누기
활꼴 하나 넓이 구하기
활꼴 두 개 빼기

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두 현 그리기

연꼴 둘로 나누기

활꼴 하나 넓이 구하기

활꼴 두 개 빼기

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