경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2006 · #16
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AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 사람이 공유하는 미지수는 각자의 읽는 시간 T 하나입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 미지수에 이름을 붙이면 각 사람이 읽는 쪽수를 T 의 식으로 적을 수 있습니다. 그 다음 도구 #3(방정식 세우기)으로 세 사람의 쪽수 합이 760 이라는 조건을 식으로 만듭니다. 그러면 미지수가 하나인 일차방정식이 되어 곧바로 풀 수 있습니다.
함께 읽은 시간 이름 붙이기
공통 시간에 이름을 붙여요: 각자 읽는 시간을 T 초라 둡니다.
"세 명 모두 같은 시간" 이라고만 하고 값을 안 주는 양은 문자로 두는 게 정석입니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable각자 읽은 쪽수 쓰기
"쪽당 초"를 뒤집으면 T 초 동안 읽는 쪽수 = T ÷ (쪽당 초)예요.
단위 비율은 양방향으로 쓸 수 있어요. 한 쪽에 20 초이면 T 초 동안은 T/20 쪽.
6.RP.A.3Introduce A Variable식 세우기
부분의 합이 전체: 세 사람 쪽수를 더하면 760 이 됩니다.
"부분들을 더하면 전체" 는 일 문제(work problem)의 기본 방정식 구조입니다.
세 사람이 공통 시간 T 동안 읽는 쪽수 — 앨리스의 T/20, 밥의 T/45, 찬드라의 T/30 — 를 모두 더하면 760쪽짜리 책 전체가 되어야 한다.
▸ 왜?
책은 세 구간으로 나뉘어 겹침도 빈틈도 없이 모든 쪽을 정확히 한 번씩 덮으므로, 세 사람의 쪽수를 합하면 전체 760쪽이 되어야 한다.
▸ 왜?
한 쪽에 고정된 초를 쓰는 사람은 T초 동안 T를 그 한 쪽당 초로 나눈 만큼을 읽는다 — 한 쪽에 20초인 앨리스는 T/20쪽이다.
▸ 왜?
한 쪽에 꾸준히 20초씩이면 읽은 쪽들은 20초짜리 같은 묶음으로 쌓이므로, 전체 읽는 시간은 쪽수 곱하기 20초와 같다.
▸ 왜?
전체 시간이 쪽수 곱하기 한 쪽당 초와 같으므로, 전체 시간을 한 쪽당 초로 나누면 쪽수가 되돌아온다.
분모 없애기
분모 없애기: 20, 45, 30의 최소공배수는 180 이라 양변에 곱하면 9T+4T+6T = 19T 가 돼요.
최소공배수를 곱하면 분수 방정식이 정수 방정식으로 깔끔해집니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities시간 구하기
풀기: 760 = 19 · 40이라 19가 약분되어 T = 180 · 40 = 7200 이 됩니다.
760이 19의 배수임을 알아채면 큰 곱셈을 피할 수 있습니다.
6.EE.B.7Eliminate Possibilities다른 속도 뒤에 같은 시간이 숨어 있을 때, 그 시간을 문자 하나로 두면 방정식 하나가 모든 일을 대신 해줘요.
- 함께 읽은 시간 이름 붙이기
- 각자 읽은 쪽수 쓰기
- 식 세우기
- 분모 없애기
- 시간 구하기
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