AMC 8 · 2007 · #20

학년 6 algebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

percentageratio-proportionlinear-equations-one-varsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagelinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

유니콘 팀은 지구 대회 전까지 경기의 45% 를 이기고 있었습니다. 지구 대회 동안 6 승 2 패를 기록하여 시즌을 정확히 50% 승률로 마쳤습니다. 시즌 전체에서 치른 경기 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

문제가 이미 다섯 개의 후보 총합을 주고 있으니 도구 #6(추측하고 확인하기)이 가장 직접적인 길입니다 — 대수를 세우는 것보다 훨씬 간단해요. 각 선택지마다 "지구 대회 전 경기 수 = 선택지 - 8" 을 알 수 있고, 그것의 45% 가 자연수인지, 그리고 6 승을 더하면 시즌 총 경기 수의 절반이 되는지만 확인하면 됩니다. 도구 #3(가능성 제거하기)은 이 검사를 더 날카롭게 만듭니다: 45% = $\frac{9}{20}$ 이므로 지구 대회 전 경기 수는 20 의 배수여야 하고, 그 조건만으로 거의 모든 선택지가 즉시 탈락합니다.

1STEP 1

시즌 총합을 T 라 하면, 지구 대회 전 경기 = T - 8, 그 45% 가 승리 수, T 의 절반 = 승리 수 + 6.

지구 대회 전 경기 수 = T - 8, 지구 대회 전 승리 수 = 0.45(T - 8),

\frac{T}{2}

= 0.45(T - 8) + 6

2STEP 2

45% = $\frac{9}{20}$ 이므로 T - 8 이 20 의 배수일 때만 승리 수가 자연수입니다. 선택지 중 T - 8 = 40 만 해당됩니다.

T - 8 ∈ {40, 42, 44, 46, 52} → 20의 배수: 40 뿐

3STEP 3

T = 48 확인: 지구 대회 전 = 40, 승리 = 0.45 × 40 = 18, 그래서 18 + 6 = 48 중 24 — 정확히 50%.

T = 48: 지구 대회 전 승리 수 = 0.45 × 40 = 18, 지구 대회 후 승리 수 = 18 + 6 = 24,

\frac{24}{48}

\frac{1}{2}

✓

4STEP 4

나머지는 자연수가 아님: 0.45 × 42, 44, 46, 52 = 18.9, 19.8, 20.7, 23.4. (A) 만 남습니다.

0.45 × 42 = 18.9, 0.45 × 44 = 19.8, 0.45 × 46 = 20.7, 0.45 × 52 = 23.4 — 모두 자연수가 아님

정답

T = 48 로 시즌을 다시 재생해 봅시다. 팀은 40 경기 중 18 승 22 패 (정확히 45%) 로 시작해, 지구 대회에서 6 승 2 패를 더해 시즌을 24 승 24 패로 마칩니다 — 정확히 절반 승. 두 백분율 조건이 모두 정확히 맞고 모든 수가 자연수입니다. 지구 대회 승률이

\frac{6}{8}

= 75% 로 이전 45% 보다 훨씬 높았기 때문에 전체 승률이 50% 쪽으로 끌려 올라간 것도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

45% = $\frac{9}{20}$ 이므로 지구 대회 전 경기 수는 20 의 배수여야 합니다 — 그 한 가지 사실이 다섯 선택지를 단 하나로 좁힙니다. 유니콘 팀은 시즌 전체에서 48 경기를 치렀습니다.

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