경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2007 · #23
학년 6 geometry-2d
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AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
바람개비의 변은 기울어져 있고 윤곽도 복잡하지만, 색칠되지 않은 영역은 훨씬 단순합니다 — 모서리 단위 정사각형 네 개와 변 위 삼각형 네 개뿐이죠. 이것이 도구 #16(여집합 세기)의 신호입니다: 측정하기 쉬운 쪽을 잰 다음 전체에서 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 왼쪽 아래 꼭짓점을 (0,0)에 두면 중심은 (2.5, 2.5)가 되고 모든 날개 끝의 좌표가 깔끔해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 색칠되지 않은 영역을 두 종류 — 1 × 1 정사각형 네 개와 합동 삼각형 네 개 — 로 나누면, 각각이 6학년 기본 넓이 공식으로 떨어집니다.
전체 격자 넓이 구하기
왼쪽 아래 꼭짓점을 (0, 0)에 두면 중심은 (2.5, 2.5), 전체 넓이는 5 × 5 = 25 입니다.
도형을 좌표 격자 위에 올려놓는 것은 5학년 좌표 단원의 기본 — 모든 꼭짓점이 깔끔한 수가 됩니다.
5.G.A.1Draw A Diagram모서리 정사각형 세기
각 모서리에는 덮이지 않은 1 × 1 정사각형이 하나씩 있어, 네 모서리 정사각형의 합은 4 입니다.
똑같은 단위 정사각형 네 개의 합 — 3학년 정사각형 넓이 더하기입니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems삼각형 하나 넓이 구하기
아래 삼각형은 밑변 3 ((1,0)~(4,0)), 높이 2.5 (중심까지) 이므로 넓이는 3.75 입니다.
밑변이 격자선 위에 놓이면 높이는 반대쪽 꼭짓점의 수직 거리 그대로 — 6학년 삼각형 넓이 세팅 그대로입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems대칭으로 네 개 넓이 구하기
바람개비의 4 회 대칭으로 나머지 세 삼각형도 합동이라, 네 삼각형의 합은 15 입니다.
아래 삼각형을 90° 씩 돌리면 나머지 세 개가 나오므로 넓이가 모두 같습니다.
6.G.A.1Identify Subproblems색칠 안 된 넓이 빼기
색칠되지 않은 합 4 + 15 = 19를 격자의 25 에서 빼면 25 - 19 = 6, 색칠된 바람개비의 넓이입니다.
전체에서 측정하기 쉬운 여집합을 빼는 "남은 것 세기" 기본 동작.
색칠된 바람개비의 넓이는 전체 5 × 5 격자의 넓이에서 그것을 둘러싼 색칠되지 않은 영역을 뺀 값과 같다.
▸ 왜?
바람개비와 색칠되지 않은 영역은 빈틈도 겹침도 없이 격자 전체를 덮으므로 두 넓이의 합은 격자 전체인 25이고, 색칠되지 않은 부분을 덜어내면 정확히 바람개비만 남는다.
▸ 왜?
빼는 것이 좋은 방법인 이유는 색칠되지 않은 영역의 넓이를 합하기 쉽기 때문이다: 그것은 네 개의 1 × 1 모서리 정사각형과 네 개의 합동인 변쪽 삼각형으로 나뉜다.
▸ 왜?
네 변쪽 삼각형은 중심을 기준으로 서로 사분의 일 회전한 복사본이고, 회전은 도형을 똑같은 복사본 위에 포개므로 네 삼각형의 넓이는 모두 같다 — 하나를 재면 전부를 잰 셈이다.
▸ 왜?
한 변쪽 삼각형은 격자선 위에 놓인 밑변 3과 중심까지 곧게 올라간 높이 2.5를 가지므로, 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이다.
바람개비 자체는 변이 기울어 까다롭지만, 그 둘레의 빈 공간은 단순합니다: 단위 정사각형 네 개와 똑같은 삼각형 네 개. 그 둘을 더해 25 에서 빼면 바람개비 넓이는 6으로 떨어집니다.
- 전체 격자 넓이 구하기
- 모서리 정사각형 세기
- 삼각형 하나 넓이 구하기
- 대칭으로 네 개 넓이 구하기
- 색칠 안 된 넓이 빼기
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