경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2010 · #17

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometryratio-proportion area-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

팔각형은 단위 정사각형 10 개로 이루어져 있어서 전체 넓이는 10입니다. 선분 PQ 가 팔각형의 넓이를 둘로 똑같이 나눕니다. PQ 아래 영역은 "단위 정사각형 하나 + 밑변이 5 인 삼각형" 으로 주어져 있습니다. 점 Q 는 세로 선분 XY 위에 있고, X=(5,2), Y=(5,1) 입니다. 비율

\frac{XQ}{QY}

를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{5}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{3}{5}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

문제 자체가 아래쪽 영역을 "단위 정사각형 + 밑변 5 인 삼각형" 으로 깔끔하게 쪼개 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "아래쪽 영역 넓이 = 정사각형 넓이 + 삼각형 넓이" 라고 쓰면, 삼각형의 높이 — 곧 Q 의 y 좌표 — 만 구하면 끝납니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 도구입니다. X=(5,2), Y=(5,1), Q=(5,h)를 그림 위에 찍어 두면 XQ = 2-h, QY = h-1이 한눈에 보이고, 마지막 비율은 두 번의 뺄셈으로 끝납니다.

1STEP 1

한쪽 넓이 구하기

팔각형은 단위 정사각형 10 개라 넓이가 10이고, 이등분하면 한쪽 넓이가 5 입니다.

PQ 아래 영역 넓이 = 10/2 = 5

2STEP 2

넓이 식 세우기

아래쪽 조각을 넓이 1 인 정사각형과 밑변 5, 높이 h 인 삼각형으로 쓰고, 그 합을 5로 놓습니다.

1 + 1/2(5)(h) = 5

복합 도형을 정사각형 + 삼각형으로 쪼개 넓이를 더하는 것은 6학년 다각형 넓이의 표준 전략입니다.

PQ 아래 영역의 넓이는 단위 정사각형의 넓이 1과 밑변이 5인 삼각형의 넓이의 합으로 나타낼 수 있고, 이렇게 잰 넓이는 팔각형 전체의 절반과 같아야 한다.

▸ 왜?

PQ 아래 영역은 단위 정사각형에 밑변이 5인 삼각형이 빈틈도 겹침도 없이 붙은 것이므로, 그 넓이는 정사각형의 넓이에 삼각형의 넓이를 더한 것이다.

▸ 왜?

도형을 겹치지 않고 빈틈 없이 조각으로 나누면 각 조각의 넓이를 더해 전체 넓이가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

이 삼각형은 밑변이 수직변과 만나는 곳에 직각이 있어, 밑변과 높이로 세운 5 곱하기 h 직사각형의 정확히 절반이므로 넓이는 5 곱하기 h의 절반이다.

▸ 왜?

밑변 위의 직사각형은 h개짜리 단위 정사각형 줄이 5줄이므로 넓이는 5 곱하기 h이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

그 직사각형의 대각선은 직사각형을 서로 정확히 포개지는 두 삼각형으로 나누므로, 둘은 넓이가 같고 각각 직사각형의 절반이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

선분 PQ가 팔각형을 이등분하므로, 그 아래 영역은 팔각형 전체 넓이의 정확히 절반이다.

▸ 왜?

팔각형은 겹침 없이 맞춰진 10개의 단위 정사각형으로 이루어져 있어 전체 넓이는 10이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

두 같은 절반이 다시 합쳐져 전체 10이 되므로, 각 절반은 두 배 하면 10이 되는 수이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

6.G.A.1Identify Subproblems

3STEP 3

높이 구하기

양변에서 1을 빼고 $\frac{5}{2}$ 로 나누면 높이 h = $\frac{8}{5}$ 입니다.

5/2h = 4 → h = 8/5

4STEP 4

선분 위 Q 위치 정하기

Q 는 (5, $\frac{8}{5}$ ) 이므로 XQ = 2 - $\frac{8}{5}$ = $\frac{2}{5}$ , QY = $\frac{8}{5}$ - 1 = $\frac{3}{5}$ 입니다.

XQ = 2 - 8/5 = 2/5, QY = 8/5 - 1 = 3/5

5STEP 5

구하는 비 만들기

분모가 같으므로 $\frac{XQ}{QY}$ = ( $\frac{2}{5}$ )/( $\frac{3}{5}$ ) = $\frac{2}{3}$ , 즉 (D)입니다.

XQ/QY = 2/5/3/5 = 2/3 → (D)

정답

2/3

높이 h =

\frac{8}{5}

= 1.6은 1과 2 사이에 있어서 Q 가 XY 위에 잘 놓입니다. 넓이도 확인해 보면 정사각형 1 + 삼각형

\frac{1}{2}

(5)(1.6) = 4의 합이 5로, 전체 10의 절반과 정확히 일치합니다. 마지막으로 XQ + QY =

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

= 1 인데, 이것은 y=1부터 y=2 까지인 XY 의 길이와 같습니다. 세 가지 검증이 모두 통과하고, 답 (D)

\frac{2}{3}

도 선택지 안에 있습니다.

💡핵심 정리

아래쪽 영역을 "정사각형 + 삼각형" 으로 쪼개고 나면, 이 AMC 8 문제는 이미 알고 있는 6학년 넓이·비율 개념만으로 풀 수 있어요.

한쪽 넓이 구하기
넓이 식 세우기
높이 구하기
선분 위 Q 위치 정하기
구하는 비 만들기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

한쪽 넓이 구하기

넓이 식 세우기

높이 구하기

선분 위 Q 위치 정하기

구하는 비 만들기

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